基于变分不等式算法的再制造系统生产决策研究

韩小雅 杜建辉

摘要：针对市场竞争和消费者环保意识条件下再制造产品和新产品的生产决策问题，该文章构建了多个企业之间的博弈模型，并证明了均衡解的存在性和唯一性。在此基础上，运用变分不等式理论提出了一个高效收敛算法，并借助MATLAB软件进行了数值分析。数值结果表明，通过变分不等式算法求解再制造系统优化模型，企业能够准确地做出生产决策;尽管消费者环保意识的提高会降低企业新产品的利润.但为再制造产品带来了极大的生产优势;竞争的加剧并非一定导致企业通过降低价格来减少损失。

关键词：再制造系统;生产决策;变分不等式;环保意识;竞争

中图分类号：F272.3文献标识码：A

O引言

伴随着全球经济的迅速发展，因环境污染恶化、资源耗费引起的社会问题层出不穷，而其中最大的源头在于制造业。为了有效地利用有限的资源，在国家政府相继出台政策的大力推动下，居民环保意识不断加强，对于绿色环保的再制造产品的认可度也不断提高。因此，再制造系统应运而生，继而再制造产品逐步融入市场竞争。再制造产品的出现，无疑将会对新产品的销售造成一定程度的冲击，究竟会在市场竞争中产生怎样的影响？本文就此进行建模分析。

对再制造生产方面的研究。对于再制造生产问题，Swaminathan在消费者无法区分再制造产品和新制造产品前提下，研究其对生产批量的影响。张威等翻入研究发现企业投入回收和再制造努力的成本是相互替代的。洪佳等人研究发现再制造供应链中联合定价决策优于分散定价决策。杨春苗等人研究发现政府补贴可以提高节点企业的均衡利润。李枫等人对不完全信息下的逆向供应链的定价与协调问题作了研究。对于库存问题，Inderfurth等人通过构造混合制造系统得出最优的库存控制策略。Qu和zhou通过报童模型研究消费者行为对绿色低碳产品生产决策的影响。Qu等人将政府补贴考虑到供应链的决策模型中并通过两个合同机制来协调绿色供应链。以上研究虽然对再制造系统作了较为详细研究和探讨，但未考虑消费者环保意识对产品的影响。此外，这些研究对企业间的竞争刻画得也比较简略，仅是单一制造商的定价决策问题，而在实际市场竞争中，制造商不仅要应对其上下游企业间的竞争，还要应对企业内部的竞争（自身企业的新产品和再制造产品间的竞争）。综上所述，本文在以上研究的基础上，充分考虑消费者环保意识对企业经营策略的影响，并将单一竞争推广到多重企业间的竞争，同时，将企业内部竞争考虑进去，提出了基于变分不等式的再制造系统优化模型。

對于变分不等式的研究现状。Nagumey详尽地介绍了变分不等式的概念以及相关定理。Qiang将其应用到闭环供应链网络模型的求解问题上。变分不等式求解的难点在于模型本身，由于充分考虑了再制造系统的各个制约因素，模型变得复杂而庞大，利用传统的算法难以求解，求解时间较长，甚至找不到可行解。针对此难点，本文提出更加高效便捷的欧拉算法，在保证模型取得均衡解基础上，实现求解过程中快速收敛的效果，从而进一步推广变分不等式模型的应用范围。

1模型构建与变量定义

在再制造系统中，企业不仅要生产新产品，还要生产再制造产品，具体的业务流程如图1所示。

在再制造系统中，企业既可以生产新产品，新产品的定价与库存策略与普通产品一样，同时，又通过回收中心回收旧产品，并经二次制造再次推向市场。环保意识高的消费者会选择再制造产品，环保意识低的消费者会选择购买新产品。

本文研究的问题是：在市场竞争和消费者环保意识条件下，如何应用变分不等式算法来解决多个企业对新产品和再制造产品的生产决策问题，使自身获得最大利润。

模型假设：

（1）企业的新产品价格与再制造产品生产量以及其他企业的新产品和再制造产品生产量相关。

（2）企业的再制造产品价格与新产品生产量以及其他企业的新产品和再制造产品生产量相关，并且还依赖于消费者的环保意识水平。

（3）每个企业的新产品和再制造价格函数均关于新产品生产量和再制造产品生产量是连续可微的单调递减函数。

（4）企业的新产品成本与自己再制造产品生产量以及其他企业的新产品和再制造产品生产量相关。

（5）企业的再制造产品成本与自己新产品生产量以及其他企业的新产品和再制造产品生产量相关。

（6）每个企业的新产品和再制造成本函数均关于新产品生产量和再制造产品生产量是连续可微的凸函数。

根据上述假设，提出以下目标模型式（5），模型变量和符号定义如表1所示。在再制造系统中，每个企业的利润组成两个部分，即：新产品利润和再制造产品利润。企业j优化模型如下所示：

通过表2中的结果可以发现：（1）从消费者角度分析：当环保意识较低（p=2）时，企业l和企业2的新产品生产量和价格均高于其自身的再制造产品生产量和价格，说明市场上大部分消费者还是愿意花费高的价格购买新产品。（2）从企业竞争的角度分析：企业l远低于企业2的利润，因为更多消费者偏爱企业2，更愿意花费更高价格购买企业2的产品。

3.2环保意识灵敏度分析。随着消费者的环保意识会不断提高，本文将p=2上升到p=3.5，两个企业的新产品价格函数与算例（3.1）保持不变，但其再制造产品价格函数发生改变（消费者环保意识提高），如下：

比较表2和表3发现：随着环保意识的提高企业l利润增加8.8225%，企业2利润增加3.6072%。尽管环保意识的提高会导致一些消费者放弃购买新产品。然而，由于环保意识的提高会促进更多消费者花费更高的价格购买再制造产品，反而会增大企业再制造产品的收入。在（3.2）场景下，两个企业再制造产品利润的增大幅度要大于其新产品利润减少幅度。因此，当环保意识水平从p=2上升到p=3.5时，企业1和企业2的利润均有所提高。为了分析环保意识对两个企业生产过程的影响，还考虑当环保意识不断变化时，分析其对企业新产品和再制造产品生产量以及各自利润的影响，如图2至图4所示。

从图2观察到：当环保意识p=2变化到p=4时，企业1和企业2新产品的均衡产量均随着p的增大而减小，而企业1和企业2再制造产品的均衡产量均随着p的增大而增大。这进一步说明了随着环保意识的增强，对再制造产品的认可度会逐渐的增强，而对于新产品的依赖程度则会降低。此外，图2显示这两个企业再制造产品产量上升的幅度要大于其新产品产量下降的幅度。

在图3中可以看出，当环保意识p=2变化到p=4时，企业1和企业2新产品的价格均随着p的增大而减小，而企业1和企业2再制造产品的价格均随着p的增大而增大。这意味着消费者更愿意花费更高的价格购买再制造产品。同时，可以发现这两个企业再制造产品价格上升的幅度要大于其各自新产品价格下降的幅度。

根据图4，当环保意识p=2变化到p=4时，发现企业总利润均随着p的增大而增大。由于消费者环保意识的提高，尽管价格和产量均下降，导致新产品利润下降。但再制造產品利润上升的幅度要比新产品利润下降的幅度要大，并随着p的增大，其幅度的大小也越来越大。因此，环保意识的提高能为企业带来更大的利润空间，企业应当采取相应措施。

3.3竞争程度灵敏度分析。在算例（3.3）中，假定市场上进入一个新企业（企业3）。企业3的加入，导致企业之间的竞争越来越强。设定p=3.5，价格函数为：

比较表3和表4发现：（1）整体竞争加剧。由于竞争者企业3的加入，导致企业l新产品和再制造产品的生产量和价格均下降，从而企业1的利润降低6.8599%。此外，企业3的加入对企业2的影响更大，企业2的利润下降19.8235%;（2）新产品增价止损。企业2新产品的价格增大，且其新产品生产量下降。因为对于企业2的新产品，随着竞争程度的增高，其价格降低难以导致产量大幅度上升，所以价格增高会减少企业2的利润损失;（3）再制造产品降价止损。企业2再制造产品的价格和生产量均有所降低，原因是对于企业2的再制造产品，其价格的降低会避免由于竞争程度的加强导致其产量出现大幅度下降，从而达到降低其利润损失的目的。

对比表2和表4的结果发现：环保意识的提高会弥补因竞争的加剧带来的损失。企业2的利润下降16.9314%，而企业1的利润上升1.3574%，原因是尽管企业3的加入导致市场竞争程度越来越高，使企业2的利润降低，然而，环保意识的提高会促进更多消费者以高价格购买再制造产品，这会增大企业1的利润。具体而言，虽然企业1新产品的价格和产量均下降导致其新产品利润降低。然而，企业1再制造产品的价格上升42.1003%，产量上升42.0873%，并且再制造产品利润上升的幅度要大于其新产品利润下降的幅度，所以其总利润会上升。对于企业2而言，尽管其再制造产品的价格和产量都增大，但再制造产品利润上升的幅度无法弥补新产品利润下降的幅度，从而企业2总利润降低。

4结论

本文主要研究多个企业对新产品和再制造产品的生产决策问题。在消费者环保意识和市场竞争条件下，以企业的利润最大化为目标，建立多企业多变量的复杂再制造系统优化模型。本文运用变分不等式理论将其转化为相对应的变分不等式问题，并证明了均衡解的存在性和唯一性。在此基础上，本文提出一个高效收敛算法（欧拉算法），运用MATLAB软件进行编程，可在十几秒时间内获得数值结果。

本文通过算例研究，得到如下结论：（1）尽管消费者环保意识的提高会降低企业新产品的利润，但对再制造产品带来的好处远远大于新产品损失，且环保意识越高，企业的总利润上升速度越大。（2）竞争程度的加强并非一定导致企业通过降低价格来减少损失。虽然新企业的加入会一定程度地降低其他企业新产品和再制造产品带来的利润水平，企业不一定必须通过降低价格、提高产量的方式来降低损失，或许用差异化的竞争策略会起到更好效果。