谈数学建模之“相近类比建构”

摘 要：“数学模型”是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构。在课堂教学中，数学模型的构建是提高教学效益的重要途径之一，在教学过程中重视对学习材料进行必要的抽象，注重数学思想方法的有效提炼，可以突显模型的本质。文章作者对数学建模中的“相近类比建构”进行了探析。

关键词：数学模型;“相近程式类比”;“相近式图类比”;“命题否定类比”

中图分类号：G623.5       文章编号：2095-624X（2019）18-0014-03

一、引言

数学是一门十分灵动的科学，纵观数学的发生与发展，人们可以发现，人类思维方式和方法的不断进步推动着数学发展的进程，例如，直观思维催化原始计数方法的发展;形象思维催化函数、几何等的演化;抽象思维催化数学概念的产生;灵感思维催化类比、猜想、归纳等数学方法的发现。各种思维方式又几乎都建立在“建构”基础之上。“建模”是数学学科核心素养之一，是用数学语言表达实际问题、用数学知识与方法通过构建模型解决实际问题的过程。“建模”的主要途径包括：从数学的视角在实际情境中发现问题、提出问题、分析问题、构建数学模型、解答问题、得出结论、验证结论;或在上一次“建模不恰当”的基础上，修改或再建模，再解答，得出结论，验证结论，最终解决实际问题。数学模型是构建主义思想的具体应用，是数学与实际问题的桥梁，是应用数学知识（或方法）解决实际问题的基本手段，是在直觉思维的基础上的再创造过程。

學习是构建与整合的过程，数学有“训练思维之体操”之说。目前，高中数学思维训练的主要方式是解题，而构建恰当的数学模型又是解决数学问题的重要方法之一，也是高考的必然考点。分析近年来的高考数学试题，每年都有考“建模”问题，其中“相近类比建构”又较为常见。所谓“相近类比建构”是将问题与之相近的数、式、图等联系起来，通过“近亲”构建数学模型来解决实际问题。在这里，我谈谈数学模型构建中的“相近类比构建”途径与方法。

二、基于“相近程式类比”建构

数学领域里的很多知识是相通的，互相关联的，往往一个问题可以“借力”于另一与之“相近”的问题来解决。例如，利用“程式”之间的相近关联构建数学模型解决数学问题。

例1.已知 a，b，c∈R+，且满足条件：a+b+c= 2，a2+b2+c2=2，

求证：a（1-a）2=b（1-b）2=c（1-c）2

分析：如果我们用函数的思想去分析待证式子，不难发现，它与“函数f（x）=x（1-x）2”相近，要证明： a（1-a）2=b（1-b）2=c（1-c）2 成立，就只要证明f（a）=f（b）=f（c）即可。

证明：由题设可知2（ab+bc+ac）=（a+b+c）2-（a2+b2+c2）=2

由于（x-a）（y-b）（z-c）=x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ac）x-abc=x3-2x2+x-abc=x（1-x）2-abc，所以令f（x）=x（1-x）2= （x-a）（y-b）（z-c）+abc，不妨令x=a，b，c，可以得到f（a）=f（b）=f（c）=abc。故有a（1-a）2=b（1-b）2=c（1-c）2成立。

例2.若x，y，z∈R，且arctgx+argy+arctgz=—，

求证：（1）xy+yz-zx=1，（2）x+y+z

分析：arctgx，argy，arctgz相近与三个复数1+xi，1+yi，1+zi的辐角主值，则（1+xi）·（ 1+yi）· （1+zi）=（1-xy-yz-zx）+（x+y+z-xyz）i ，考虑到 arctgx+argy+ arctgz=—，显然有1-xy-yz-zx=0和x+y+z-xyz<0，即有xy+yz-zx=1，和x+y+z

三、基于“相近式图类比”建构

某些代数式子的结构与“图形”相近，我们可以将问题中的条件与结论的结构关系赋予几何意义，然后构建新的数学模型，再应用我们比较熟悉的几何知识去解决待求问题。

例3.求证sin220°+sin210°+√3sin20°cos80°=—

分析：待证式子的左边可变为sin220°+sin210°+ √3sin20°sin10°，在解此题时我们回避常规的三角变形法，我们从数形结合的角度出发去构建模型。不妨构建 △ABC，令A=10°，B=20°，C=150°，由正弦定理可以得到：—=—=—=2R

又由余弦定理可知：c2=a2+b2-2abcosC

所以 （2Rsin150°）2=（2Rsin10°）2=（2Rsin20°）2-2× 4R2sin10°sin20°cos150°

即有sin220°+sin210°+√3sin20°sin10°=—成立。

例4.若a，b，c∈R+，求证√a2-ab+b2+

√b2-bc+c2≥√a2+ac+c2恒成立，当且仅当—=—+—时，等号成立。

分析：观察待证式子中的三个根式，容易发现：

√a2-ab+b2=√a2+b2-2abcos60°可以表示为以a，b为边，夹角为60°的三角形的第三边长;

√b2-bc+c2=√b2+c2-2bccos60°可以表示为以b，c为边，夹角为60°的三角形的第三边长;

√a2+ac+c2=√a2+c2-2accos120°可以表示为以a，c为边，夹角为120°的三角形的第三边长;根据上述分析我们构建在三角形ABC中，令AB=c， AC=a，AD=b，∠CAD=∠BAD=60°，如 图 1。

由余弦定理可知CD=√a2-ab+b2=√a2+b2-2abcos60°

AB=√b2-bc+c2=√b2+c2-2bccos60°，

CB=√a2+ac+c2=√a2+c2-2accos120°，

在△CDB中，CD+DB>CB是恒成立的。

所以√a2-ab+b2+√b2-bc+c2≥√a2+ac+c2成立。

当B、C、D三点共线时，一定有√a2-ab+b2+

√b2-bc+c2=√a2+ac+c2成立，且S△ACD+S△ADB=S△ACB，即—absin60°+—bcsin60°=—acsin120°，即ab+bc=ac所以有

—=—+—成立。

例2、例3分别把一个纯三角函数问题、不等式问题转化成了对三角形的边和角的分析。这两道题的解法都是通过构建几何模型来解决代数问题，从一个全新的角度去审视原题，突破了问题原来的界限，展现出了独特新颖的解题方法与技巧。这种解题方法的实质是通过分析问题的结构，联想与之相似的有着明显几何意义的式子，从而构建数学模型达到解决问题的目的。中学数学中，有着明显几何意义的式子较多，例如：

（1）|x-a|表示数轴上任意点x与a的距离。

（2）（x-a）2+（x-b）2表示平面上任意点P（x，y）与 A（a，b）的距离的平方。

（3）—表示平面上任意点P（x，y）与 A（a，b）连线的斜率。

（4）—表示平面上任意点P（x，y）到直线ax+by+c=0的距离。

（5）常见的圆、椭圆、双曲线、抛物线等二次曲线方程。

四 、基于“相近意境类比”建构

某些问题的结构与特定的数学或實际意境相关，可以将问题重构新的问题意境。常见的方法包括实例数学化、面体展开、面体割补、面体对称与旋转等。

例5.在三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=1，∠ASB=∠ASC=∠BSC=30°，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为多少？如图2左图所示。

分析：从“立体图形联想”相近“平面图形”，将锥侧面展开，很容易发现展开图形为直角三角形，如图2右图所示。且最短路程为√2。

例6.如图3左图所示。四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SD= 1，求面ASD与面BSC所成二面角的大小。

分析：考虑到 SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，可以把四棱锥补形为长方体 ，如图3右图所示。 面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角，又因为∠AA1B 为所求二面角的平面角，即面ASD与面BSC所成的二面角为45°。

例7.一个球的半径为a，放在墙角与两个墙角及地面都相切，那么球心与墙角顶点的距离是多少？

分析：我们从数学的视角审视容易发现此球心到三面的距离构成边长为a的正方体，则球心与墙角顶点的距离为√3a。

在构建数学模型时，要克服思维定式的干扰，当用常法解决问题比较困难时，要及时调整思考角度，敢于构想新的问题意境，寻求新的解题契机，其中寻求“相近意境”是重要的方法之一。

五、基于“命题否定类比”建构

从问题的反面出发，构想与问题完全相反的模型，然后通过推理，达到否定假设肯定结论的效果。其过程是：先假设“结论”不成立，然后把“结论”的反面当作已知条件，进而运用数学知识进行正确的逻辑推理，得出与题设或已知的公理、定义、定理相矛盾的结论，从而说明假设不成立，即原“结论”成立。这种方法的实质是：先驳倒“结论”反面，而后肯定“结论”。

例8.已知：四边形ABCD中，对角线AC=BD=m。

求证：四边形中至少有一条边不小于—m。

证明：假设四边形的边都小于—m，（如图4 ）

由于四边形中至少有一个角小于或等于90°，不妨设∠A≤∠90°，

由余弦定理，得BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cosA，

∴BD2≤AD2+AB2，

即BD≤√AD2+AB2<√（—m）2+（—m）2=m。

这与已知BD=m相矛盾。所以，“四边形中至少有一条边不小于—m”成立。

六、基于“逆否命题”建构

考虑到“互为逆否命题等价”，可以将问题的研究转化为对逆否命题的研究。

例9.求证：若a，b∈R，a2-b2+2a-4b-3≠0，则a-b≠1

分析：要证明“若a，b∈R，a2-b2+2a-4b-3≠0，则a-b≠1”成立，我们可以证明其逆否命题成立即可。即证“若a，b∈R ，a-b=1，则a2-b2+2a-4b-3=0”成立。

证明：因为a-b=1，所以a=b+1，所以a2-b2+2a-4b-3=（a2+2a+1）-（b2+4b+4）=（a+1）2-（b+2）2=（b+2）2-（b+2）2=0。

七、基于“相近客观实例 ”建构

例10.“如果一个二面角的两个半平面分别和另外一个二面角的两个半平面垂直，则这两个二面角相等或互补”是否成立？

解答：将第一本书打开，得到一个二面角模型，将第二本书打开得到另一个二面角模型。将第二本书脊与第一本书打开的两面垂直，此时第二本书开合成任意角时都是符合题意的。所以“一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，这两个二面角不一定相等或互补”。

八、结语

“相似类比构建”是数学模型构建的重要方法或途径，是从“相似”的视角构建数学模型解决数学问题。模型构建是数学发展的价值所在，是推动数学发展的动力所在，也是“数学人”的基本素养之一，值得我们去仔细研究和运用。

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作者简介：杨德才，数学高级教师，广东省中山市实验中学教师。