数学师范专业基础课程数学分析的改革与实践

彭艳贵，赵立纯，徐 伟

(鞍山师范学院 数学与信息科学学院,辽宁 鞍山 114007)

教育是一个庞大且复杂的系统，教师是影响其发展的重要因素之一.在我国的基础教育改革过程中，越来越看重教师的发展与培养.专业知识素养是教师的重要素养之一，是教师教学能力发展的重要内在动力，对教师设计教学、实施教学等方面具有重要意义.在基础教育中强调发展学生的核心素养的同时，也应该在教师培养过程中增强教师在今后的教学实践中落实和贯彻核心素养理念的能力，而教师的专业知识将影响教师把握核心素养理念的能力.所以，数学师范专业的基础课程设置与教学方面是否能够紧密契合自身的培养目标是当前值得关注的一个研究问题.为了提高高等教育服务区域社会发展的能力和水平，从根本上促进教师教育发展体系的完善，对于数学师范生的培养来说，改进数学师范专业基础课程的教学是必要的.高等教育目前存在的一个主要问题是同质化倾向严重，在数学师范生的培养过程中不能深入思考教育的时代性所带来的问题，如不同时期学生的数学知识掌握与数学学科的逻辑严谨性的程度变化，包括数学知识在内的科学技术发展而引起的初等数学到高等数学的课程内容的变化等.在教学中若不能洞察和解决类似问题，就会导致师范生的培养不能完全满足社会发展的基本教育需求.PCK(Pedagogical Content Knowledge)是美国学者舒尔曼(Shulman)于1986年提出的关于教师教学能力发展的学科教学知识理论.在数学教师发展研究领域，国内外的教育研究者一直把数学专业知识、数学素养作为评价数学教师的一个标准.合理的专业课程设置与教学形式对数学师范生的数学素养的发展具有重要作用.国内外的师范院校在师范专业的发展中普遍把专业基础课程的设置与教学看作一个重要环节.

1 数学师范专业基础课程教学面临的问题和挑战

数学分析是数学类专业最重要的基础课之一，其课堂教学周期最长，教学课时数量多，且内容具有抽象性、逻辑具有连贯性、应用具有广泛性的特点.在教学内容上数学分析是联系初等数学和现代数学的纽带，而且肩负着为后继课程提供基础之重任.相对于广泛的课程内容来说，在有限的时间内完成课程任务并不容易，这就要求有效规划课堂教学内容和提高教学效率.同时，学生在数学知识掌握程度、范围等方面的差异也对相关课程的教学产生影响.综合各方面因素的影响，当前的数学师范专业的课程教学需要从学生、课程内容、教学形式等方面深入思考.

为了顺应高校发展的新形势和满足社会经济发展的需要，师范院校把未来教师的培养、教师教育专业的发展目标定位为师范生的专业素养和教学素养的综合发展，从深层次提高未来教师的综合素质.作为数学专业的教学实践者和研究者，必须探讨相应的教学方法以实现对传统教学方法的改进.当前形势下数学分析课程的教学面临以下几方面的问题和挑战:

1.1 教育的发展性所带来的知识衔接问题

在与初等数学内容衔接方面，现有数学分析教学大纲很大程度上依赖于原有的高中数学教学大纲，新课标的实施势必造成数学分析与中学数学内容上的重复与脱节.在此背景下，龚小兵从中国教育模式、教材和教学目的等宏观层面分析数学分析与新课标下中学数学的脱节问题，并提出相应的解决策略[1]，孔祥勇等人则从数学思想、课程内容和教与学等微观层面阐述了数学分析与新课标下中学数学的脱节现象，并给出了相应的解决方案[2].陈娟、潘建辉等人更是从函数、极限、导数等具体内容出发，列举数学分析与新课标下的中学数学脱节案例，并归纳出“两头不管型”“原样重复型”“重复提升型”等类型.随后根据一般师范院校数学分析课程的教学实际情况，结合数学教学方法研究，探讨适合我国教师教育发展的、满足培养合格教师需要的教学方法，探讨当前高等教育、教师教育等方面的发展问题[3，4].

1.2 普及型教育导致的学生基础差异问题

目前，我国高等教育已实现了精英式教育向大众化教育的转化，并向普及型教育发展，在学生评价与选拔方面发生了明显的变化，同一班级学生的理解能力、分析能力和学习成绩等不尽相同.另外，受教育转型以及国家的一些教育政策的影响，数学分析等专业基础课程也面临课时缩减的要求.针对性的教学方法显得尤为重要，它是考虑教育目标、学生学习情况、社会需求等多方面因素综合影响，采用技术手段将数学分析教学分为基础层次和提高层次并设计相应的教学方案，能够充分体现因材施教的原则，保证不同水平的学生都能够朝着最有利于自己的方向发展.但目前一些教学研究者提出的分层式教学方法多为“班内分层”原则[5，6]，仍然存在一定的局限性.有必要在实践教学中探索和尝试新的分层方法，从而实现新形势下的教育教学目标.

1.3 适应社会发展需求的挑战

在国家提出的高等教育转型的大背景下，数学的应用性也越发受到各行各业的关注.数学分析这样的数学专业课程教学也应注重培养学生解决实际问题的能力，数学建模和现代技术辅助教学都是很好的培养方式.在数学分析课程中的数学建模不仅可以激发学生的学习积极性，更突出培养了学生的应用能力，提高了他们的创造精神和创新意识，因此很多教师将数学建模思想有意识地渗入到数学分析教学中，并取得重要研究成果.现代技术辅助教学在数学分析教学中的运用一直备受争议[7-14]，但它对几何直观教学起着重要作用.只有突破传统的教育方式，才能满足国家对应用型人才培养的需求.

2 数学分析课程教学的探索与实践

从数学教学方法论层面探讨教师发展意义下的数学分析课程的教学问题.

2.1 基于数学课程衔接性的教学探索

已有研究为当前的数学师范专业课程教学提供了重要的启示.在师范专业的数学分析课程教学实践过程中，明显存在两种类型的问题：一是高中数学和大学数学内容存在断带，高中因为高考等原因没能学习的内容，大学课堂上以为学生在高中已经掌握了该内容；二是高中已经学过的某些数学内容，到大学后又重复学习一遍.这两方面对数学分析课程的教学和学习产生了严重的影响，研究和实践相应的教学策略对数学师范生的专业知识发展有重要的现实意义.

2.1.1 基于“数学知识断带”的课程衔接问题 学生缺失的数学知识通常属于高中知识范畴，从思维程度上来说，难度并不是很大，相对容易补救.如反三角函数的内容就属于这种类型，经调查有半数以上同学不熟悉这部分内容[2]，而作为数学分析课程内容中具有重要地位的基本初等函数，反三角函数的分析学性质研究是课程的基本内容之一.在课时有限的情况下，采用几何直观的教学方法完成这部分内容的补充.

如y=arcsinx内容的学习中，首先，请同学说出y=sinx图像特点，教师辅助绘图；其次，教师启发同学考虑“函数与其相应反函数的图像特性”，依此做出y=arcsinx的图像，再了解其相应性质，同时思考y=arcsinx的主值区间等问题.由熟知的三角函数的图像导出反三角函数的相应图形，然后根据图形了解反三角函数的性质，这样师生互动不仅使学生体会到数学分析课程的连贯性思想，也弥补了数学分析与新课标下中学数学脱节问题.

2.1.2 基于“数学知识重复学习”的课程衔接问题 在基础教育改革过程中，高等数学知识下移到高中数学中是比较典型的课程发展现象.对于这样的数学知识内容，学生会在初等数学中有过接触，但往往停留于形式学习或者比较基本的概念理解层次，教学中不够深入.那么，在高等数学课程学习过程中再一次面对这部分内容，加深理解层次，从本质上掌握，才是高等数学课程的根本任务.在教学中要把握好学生已有的认知基础，结合相对直观的方法，用从定性描述到定量分析的教学方法完成本部分的教学内容.

图1 数列极限示意图

步骤2用具体图形表达步骤1的定性描述，从图1可以看出：当ε=ε1时，∃N=5，n>N对应的点an均落在以a为中心，以ε=ε1为半径的带型区域里；而当ε=ε0时，∃N=8，n>N对应的点an均落在以a为中心，以ε=ε0为半径的带型区域里，从中可以看出结论：N随着ε的变化而变化，且随着ε的减小而增加，ε的任意性体现了《数学分析》的动态特性.

步骤3结合图1，将步骤1中的“定性描述” 翻译成精确的“数学语言”，即通常所说的“定量分析”，其中，有两件事情需要处理：一是给出“n要多么大就有多么大”的数学表示，即“N>0，n>N”，其中，N是要多么大有多么大的正数，这体现了大学数学的动态思想；二是“数列an要多么逼近就有多么逼近常数a”的数学表示，即“∀ε0>0，|an-a|<ε”，其中，ε是要多么小就有多么小的正数，这同样体现了大学数学的动态思想.

这种教学方法体现了由“静”到“动”的数学思想，克服了数学分析与中学数学“重复而缺少本质提高”的脱节问题，某种意义上实现了中学数学到大学数学的自然过渡.

2.2 基于学生基础差异性的教学探索

由于社会进步与发展的需要，国家的高等教育政策调整，普及型教育势必导致学生在数学学习过程中的知识掌握程度的差异，按照已有研究结果[15]划分低层次、较高层次和高层次3个不同层次学生培养的教学目标进阶要求，制定短期、中期和长期的教学进阶策略，具体如下：

2.2.1 针对学生知识基础相对较薄弱的短期教学策略 每个学生的认知水平、理解能力等存在一定差异，课程学习所需要的知识基础也有强弱之分.因此，根据实际情况，调整教学策略是必要的.短期教学策略是完成教学大纲的基本要求，侧重完成基本层次的数学课程教学目标，即操作性强的、基本技巧型的方法.在教学过程中，结合广大教育研究者提出几何直观的教学方法[16]，采取问题设定和问题回答的方式完成短期教学策略.

问题设定：将每次课的重点内容以问题的形式提出，让学生带着问题去学习，待课程讲解结束后再让学生回答前面问题.如在讲解平面点集时，教学中设定如下问题：“集合的界点是否一定是该集合的聚点”“集合的孤立点是否一定是该集合的外点”，等等,通过学生的回答可以及时了解学生对课上内容的掌握情况，有助于学生养成良好的学习习惯，取得良好的教学效果.

问题解答：在教学过程中鼓励学生随时提出问题，教师要及时做出回应，充分发挥学生在教学中的主体地位.如同样在讲解平面点集的内容时，当给出“邻域是开集”的结论时，有学生反问 “去心邻域是否也是开集”，此时教师与学生按照开集定义一起讨论，最终给出正确答案，从学生的表情可以看出他的成就感.

2.2.2 针对学生知识基础相对中等的中期教学策略 中期教学策略就是在短期教学策略基础上，在教学过程中侧重培养学生较高层次的数学思想方法，即分析归纳得到的具有确定的逻辑结构的、能普遍适用的推理论证模式.这一策略借助辅导大学生数学竞赛的契机进行，采用几何直观法对数学分析涉及的极限理论、微分学、积分学和级数理论4部分内容进行总结，与学生一起将历年大学生数学竞赛题归类并总结出相应的解题方法，这样可使学生对数学分析课程有一个总体理解，为进一步长期教学策略的实施奠定基础.

2.2.3 针对具有优秀潜质学生的长期教学策略 长期教学策略是在中期教学策略基础上，针对具有优秀潜质学生的教学策略设置.在教学过程中侧重培养学生高层次的学习目标实现，即全局性，整体性，为学科发展起到指引性作用的思想方法.该策略通过能够体现课程核心内容的拓展研究方式实现，在中期教学方案基础上，可以选择数学分析课程中核心问题或者是能够反映知识发展性的更深入问题等，在对其总结分类基础上寻求相应的解题方法，如极限问题，将涉及极限的问题进行归纳，在思维层次上系统地总结这类问题的计算、证明和应用等方面的一般处理方法.

总之，学生可以根据自己的实际情况选择适合自己的层次，充分体现的学生主体地位，不仅延续了基础教育中的新数学课程标准强调的数学思想方法的教学，也有利于培养学生的数学修养和创新意识，为数学分析课程的“教育形态”发展提供基础.

2.3 基于应用性的转型教学策略

一些学校面临向应用技术类型高校转型发展的新挑战，地方师范院校需要强调数学知识的应用性、技能性，这对数学分析课程的教与学提出了更高的要求.

2.3.1 教学中渗入数学建模思想 基础教育中的高中数学课程标准和义务教育数学课程标准都非常强调数学思想方法的教学、数学模型的应用价值等[17].为了适应新形势下应用型人才培养，作为中学数学的延续，数学分析教学没有理由不秉承这一理念.数学建模是联系实际问题和数学知识的纽带，是将一些实际问题抽象出数学模型并运用数学的一些综合知识加以解决[18].数学分析课程正是这类知识的重要来源，其中许多概念和定理有着丰富的现实原型，因此在数学分析教学中有目的地渗入数学建模思想是可行且必要的，符合应用型人才的培养目标.通过如下两种方式有意识渗入数学建模思想：(1)课堂上.着重讲解一些重要概念的现实原型和一些重要理论的应用例子，如导数的物理背景——瞬时速度、经济背景——边际成本，又如应用最值原理解决最小二乘问题等.(2)课堂外.对于一些中学没有接触的参数方程和极坐标方程，留作业给学生，让他们通过课外学习了解它们的背景后在课堂讲解，如悬链线方程的物理背景、心形线的形成等，这样使学生参与到数学分析的教学活动中，一方面可解决中学数学和数学分析的脱节问题；另一方面延续了课程标准中强调数学模型应用价值的教学理念，提高了学生应用数学知识解决实际问题的能力.

2.3.2 基于现代技术的多媒体教学 目前数学分析课程的课堂教学多采用黑板+粉笔的传统教学方法，具有互动性好、课堂进度容易控制等优点，但存在表现手法单一、信息量小等缺点.而在国家政策调整和学校转型的新形势下，数学分析课程的总学时再次面临被缩减的压力，适当采取多媒体辅助教学不仅可以提高课堂教学的效率，也可激发学生的学习兴趣，适应新形势下应用型人才的培养目标.基于现代技术的多媒体辅助教学中使用的课件绝大多数是由PPT制作的讲解演示型课件，而讨论型、协作学习型、实验模拟型、问题解决型、教学游戏型、模拟测试型等类型的课件比较少见.可以利用一些数学软件和CAD等制作模拟型课件，在课上，通过演示模拟向学生展示数学分析中各种抽象概念和复杂函数图像，化抽象为具体，化复杂为简明；在课下，指导学生利用matlab或mathematica等软件做出抽象函数的图像，如,马鞍面等.

在数学分析教学中适当渗透数学建模思想和使用多媒体辅助教学，不仅可以激发学生的学习积极性，而且可为学生后继数学实验、数学建模课程的学习打下坚实基础.

2.4 关注数学分析理论对中学数学教学的指导作用

数学分析课程的理论教学要关注若干理论对中学知识教学及解题教学的指导作用，使该课程富有“师范性”的特征，有利于学生明确学习的目的，掌握必要的数学专业知识、技能与方法.

一般来说，方程与不等式问题常常借助于函数得以解决，即利用导数讨论函数的单调性求极值(最值)来解决方程与不等式问题.对于高中教材中出现的非线性方程，采用的方法是，在函数的意义下，通过利用导数研究函数的单调性以获得极值等函数信息来刻画函数的性状，利用零点定理(高中)等方法获得根的分布，从而估计方程根的分布情况，进而利用“两分法”(高中)(在数值分析理论中会介绍很多方法，如Newton切线法)去近似求解.如此，就带来了数列迭代及数列收敛速度等与数列有关的问题，这也是很多高考试题的命制背景.

例1解方程ex-x-1=0.

显然x=0是方程的一个解.从图像可以观察到函数f(x)=ex与f(x)=x+1只有一个交点，说明该方程只有这一个解.我们知道，ex≥1+x是一个极有价值的不等式，右侧是函数f(x)=ex在x=0处泰勒展开的前两项，这反映了用简单的线性函数逼近非线性函数的思想.因此，可以构造函数f(x)=ex-x-1，通过研究其单调性来解决这个方程问题.

不等式问题中有一类问题是求参数的取值范围，大体有两种方法：一种是分离变量法，另一种是将参数与自变量整体处理的方法.值得注意的是分离变量法有时难以贯彻到底，原因是分离后参数另一侧的函数受高中知识方法的限制不能求出极限值，从数学分析理论看，严格的解决问题方法是应用洛必达法则.

例2设函数f(x)=ex-1-x-ax2.

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.

显然，第(Ⅱ)问中对参数a取值范围的估计，其问题的命制背景与泰勒展开有关.而对于已知不等式恒成立或有解求参数的取值范围问题，常采用参数和自变量整体处理和参数与自变量分离的方法，而后者的使用要求函数在某点处能求到极值，而有些时候是求不到的，需使用洛必达法则.

数学学科具有抽象性、逻辑性、思想性等学科特点.数学方法、思想往往贯穿整个数学学习过程，无论是在初等数学学习过程，还是在高等数学学习过程中，数学师范生在大学专业课程的学习有助于他们在高等数学更加严谨、更加丰富的知识体系下，更好地认识和把握数学的思想方法，提高数学抽象思维的高阶认识，这是一个必要的教师培养与发展过程.

拉格朗日中值定理是高中讨论函数单调性的理论基础，也是高考试题的命制背景.如2009辽宁卷理科21题的设计：

(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)证明：若a<5，则对任意x1,x2∈(0,+),x1≠x2，有

函数的凹凸性也是高考试题命制的常用背景来源.如2004全国卷理科22题：

例4已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx，

(Ⅰ)求函数f(x)的最大值；

3 结语

按照舒尔曼等人关于教师知识概念和结构的研究结果，在教师教学能力及其发展中教师的专业知识是重要组成部分之一，所以，在数学专业师范生的培养与发展过程中应非常重视教师专业知识的获得.数学分析等课程是数学专业师范生继续学习其他数学专业课程的重要基础，所以，从多个角度思考课程教学，对数学专业教师教育的发展是重要的，也将是一个长期的过程，并且会随着时间的推移不断改变教学研究的内容.