“三足鼎立”，不等立威

江苏省溧阳市埭头中学 吕 磊

众所周知，不等式在高考中有着举足轻重的地位.除了基本的解不等式以及基本不等式外，不等式与其他知识的综合考查应当引起我们的重视.函数与方程向来不离不弃，在等到不等式这位“兄弟”结成联盟后，其威力无疑又上了一层.如何在复习时打好基础、巩固所学呢？我们需要细细品味不等式在其中所起的作用.

“不等”是绝对的，“等”是相对的.“等”与“不等”并不是敌对的双方，它们之间有着千丝万缕的联系.很多时候需要借助对方才能解决自身问题呢！

分析 给出的已知条件是一个方程，如何抽丝剥茧般抽出有用的信息来建立不等式是关键.与一般方程不一样的是，该方程中含有指数，此时我们要能联想到2x与4x之间的平方关系，利用换元法将该方程转化为一个二次方程.转化的过程当中，需要特别留心变量的范围；由“等”到“不等”，也要综合考虑转化的作用.

解令2x＝t（t＞0），方程即转化为t2＋at＋a＋1＝0在（0，＋∞）上有解.这是个存在性问题.

法一：（分离常数）t2＋1＝-a（t＋1），

两次换元，均需注意变量的取值范围.若需要令t＋2＝m，则要求m＞2，于是后面的便取不到，后续的结论就要更改了.

法二：（分类讨论）令f（t）＝t2＋at＋a＋1.要求关于t的方程t2＋at＋a＋1＝0在（0，＋∞）上有解，

即要求f（t）与x正半轴有交点.

可分以下三种情况：

①f（t）与x 轴有且仅有一个交点，且正好在x 的正半轴，Δ＝a2-4a-4＝0且可得

②f（t）与x 轴有两个不同交点，其中恰有一个在x 的正半轴，Δ＞0且f（0）＝a＋1≤0，可得a≤-1；

③f（t）与x 正半轴有两个不同交点，Δ＞0，f（0）＞0，可得-1＜a＜2

换成“正常”的解法来解答，略显繁琐，需要分三种情况进行讨论.这里可看成是不等式与函数的一次结合.但这是我们在高一时所熟知的方程转为不等式的方法，不妨画个草图，可以帮助我们理清思路，避繁就简.两种方法各有千秋，需要我们细细品味.

分析要求函数图象与x轴的交点，即需求方程f（x）＝0的解.

解考虑方程f（x）＝x［kx-（k2＋2）］＝0，解之得x1＝0，

函数、方程、不等式，三者在此题中结合得恰到好处.

分析此题的关键是对自变量的选取，若想当然地把x作为自变量，再分离常数或转化为函数问题，则非常复杂；但是若能考虑到已知的是m 的取值范围，只要把m 看作自变量，则可转化为一次函数的恒成立问题来轻松求解.

解由题知（2x-1）-m（x2-1）＞0在m［-2，2］上成立.

可令f（m）＝（1-x2）m＋2x-1，m∈［-2，2］，

由于是关于m 的一次函数，所以原问题可转化为

不等式在高中数学中的运用非常广泛，很多时候，函数与方程都是为不等式“服务”的.此处只是简单地举了几个例子，如何有效突破这类“三足鼎立”问题，还需要我们在夯实基础的前提下，细心归纳、理清脉络，让三者皆为我所用.