论浅埋偏压隧道围岩垂直压力的分布规律

吴志刚，李定越

（1.中国公路工程咨询集团有限公司，北京100078；2.中铁第四勘察设计院集团有限公司，武汉430063）

1 存在的问题

浅埋偏压隧道衬砌所承受的围岩垂直压力的计算方法，在现行TB 10003—2016《铁路隧道设计规范》[1]及JTG D70-2—2014《公路隧道设计规范》附录F中有详细的论述。在导坑跨度B范围内垂直压力总量Q附录F给出的计算式为：

式中，h、h′为内、外侧由拱顶水平至地面的高度，m；B为坑道跨度，m；γ为围岩重度，kN/m3；θ为顶板土柱两侧摩擦角，（°）；λ、λ′为内、外侧的侧压力系数。

但对垂直压力在B范围内如何分布，没有给出表达式，只给了这样的说明“假定偏压分布图形与地面坡一致”，这是一种图解的方式，即垂直压力的分布线与地面坡平行[2]。若进行结构内力计算，无论是采用有限元法还是结构力学法，对分布荷载必须有一个荷载分布的数学表达式，才能进行确切的计算。

现在讨论在给出了垂直压力总量Q的计算式及假定偏压分布图形与地面坡一致的2个条件的情况下，能不能得出确定的垂直压力分布的表达式。

在隧道中线拱顶处设坐标零点，竖向Y轴代表垂直荷载值，水平X轴代表隧道宽度。用qx表示垂直荷载的分布函数，从偏压分布图形与地面坡一致的条件可得出qx是直线函数，从γ和h的单位能推出的单位是kPa，X轴的单位是m。直线函数的一般表达式是:

式中，a和q0为待定常数。由于是讨论图解方式，绘制直线函数的图形时，要考虑比例系数k，即在绘图时，取Y轴上每单位长度代表k（kPa）的荷载值，k值可以根据图解需要任意选取。将式（2）转换为：

设qtx=qx/k，则：

下面利用上述2个条件求a和q0。

从垂直压力总量为Q，考虑了绘图比例系数k后，得出：

从式（4）及定积分的计算可得出：

即q0B/k=Q/k，q0=Q/B。由于Q、B都是常数，故q0是可以确定的。从偏压分布图形与地面坡一致的条件，并设地面坡度为1∶m，可得出：

从式（4）可知，dqtx/dk=a/k，可求出a=k/m则：

这就是用来作图的直线方程，斜率与地面坡相同。只要取定k值，就可以作出平行于地面坡的直线。但qtx只是图解时x点的竖向线段长度，求出函数的原值时要乘以k，即分布函数为：

由于k可以取任意正数，故k/m的值有无限多个，k/m值是不确的，它的不确定引起qx的值也不确定，随着k值变动而变动。也就是说，在给出了垂直压力总量Q的计算式及假定偏压分布图形与地面坡一致的2个条件后，并不能确定垂直压力分布的表达式。由于不能确定表达式，图解的结果也是不确定的。

2 寻求垂直压力的分布规律

从上文所述可知，附录F给出的条件无法确定垂直荷载分布的表达式，不仅用表达式计算无法进行，图解也做不了。为了使计算顺利进行，必须求出垂直荷载分布的表达式，找到垂直压力的分布规律[3]。寻求垂直荷载分布的表达式可以参照垂直压力分块计算的原理，进行推演求出。垂直压力由洞顶以上土体重量减去土体两侧的摩擦力得出，也可以认为是洞顶以上土体重量乘以一个折减系数得出,即：

式中，Wt为B范围内洞顶以上土体的重量。

设h0=（h+h′）/2 则：Wt=γB（h+h′）/2=γh0B，由于Wt、Q都是常数，可设定一个折减系数c=Q/Wt，则Q=Wtc。由此，对于0～x段的垂直压力总量可以写为：

式中，Wx为0～x段的土体重量。

Wx=γ（2h0+x/m）x/2，则Qx=γ（2h0+x/m）xc/2，qx=dQx/dx=γc/mx+γch0，化简后得：

式中，hx为X轴上任意一点x的土柱高度，m。式（10）是垂直荷载分布的简约形式。为了计算方便，将式（10）转换为x的函数：

式中的q0与式（4）的q0相同。

经过上述推演，得出了垂直压力分布的表达式如式（10）、式（12）所示，揭示了浅埋偏压隧道围岩垂直压力的分布规律。

3 “偏压分布图形与地面坡一致”的假定值得商榷

得出了式（10）、式（12）的表达式后，为偏压垂直荷载的数字化计算和图解方式提供了依据。现在分析按照式（12）式得出的偏压分布图形有什么规律。为了在图解方式上说明此问题，引入比例系数k，将式（12）变成作图用的直线方程：

式（13）的一次项系数为γc/km，一次项系数即为直线函数的一阶导数，为直线的斜率。斜率要等于1/m直线函数才能平行地面坡，由于k可以任意取值，一般情况下，γc/k不等于1，有无数个k值做图解，偏压分布图形都不会与地面坡一致，也就是说“偏压分布图形与地面坡一致”的假定一般情况下是不正确的。

4 结论

垂直压力是由洞顶以上土体重量减去土体两侧的摩擦力得出，浅埋偏压隧道围岩垂直压力的分布规律可用公式qx=γc/mx+q0进行计算和图解，无需提“偏压分布图形与地面坡一致”的假定。