基于无偏估计的装甲装备器材需求灰色预测

刘素兵, 曹大志, 赵志辉

(1.火箭军工程大学 基础部，陕西 西安 710025；2.火箭军工程大学 导弹工程学院，陕西 西安 710025)

基于最新数据的装甲装备器材需求预测模型，其预测结果更具有说服力[1-3]，但纯粹采用最新数据时，面临着数据少和预测模型精度低的问题，灰色预测模型能有效的解决这2个问题[4-8]，因此建立基于灰色预测模型的装备器材需求预测非常必要.

为提升灰色预测模型的预测精度，学者分别从初值优化、背景值优化等方面做了大量的工作[9-14]，但是唯独缺乏对灰色预测模型的参数识别的无偏估计上进行研究和分析.

在建立装备器材需求灰色预测模型过程中，要获得高精度的灰色预测模型，其实最主要的是挖掘出装备器材需求时间序列的变化规律，得到灰色预测模型中待估计参数的无偏估计.现有灰色预测模型中只考虑采集数据，忽略了采集数据与真实数据之间存在一定偏差的实际问题.偏差序列的期望是否为0，关系到所使用的最小二乘估计值是否为无偏估计，自然影响着装备器材需求灰色预测模型的预测精度.本文将主要从装备器材需求灰色预测模型的参数无偏估计入手，给出一种获得灰色预测模型各参数无偏估计的方法.

1 灰色预测模型

定义1[15]设装备器材需求历史时间序列为X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)},对其进行一阶累加生成，得到：

则称序列X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}为装备器材需求历史序列X(0)的一阶累加生成序列(1-AGO).

装备器材需求GM(1,1)预测模型的灰色微分方程为

x(0)(k)=-az(1)(k)+b，

(1)

其中参数a为发展系数，参数b为灰作用量；参数a,b为待识别参数.z(1)(k)为灰色微分方程的背景值，一般取

z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1)).

(2)

写成矩阵形式为：

Y=Bθ,

(3)

其中,

(4)

在初值条件x(1)(k)|k=1=x(1)(1)=x(0)(1)下的时间响应函数为：

(5)

对式(5)累减，则可得到装备器材需求历史时间序列X(0)的模拟预测函数为

(6)

2 无偏最小二乘估计的条件

在对装备器材需求历史时间序列建立GM(1,1)预测模型时，考虑到装备器材需求在采集过程中会存在数据舍入误差，或人为数据统计误差，因此，实际用于建立装备器材需求预测模型的历史数据与真实的装备器材需求数据之间是存在一定的误差的，即下式成立：

(7)

(8)

(9)

(10)

将(10)其代入(9)，联合得到

(11)

将(10)、(11)其代入(8)，得到：

x(0)(k)=-az(1)(k)+b+ε(k),

(12)

(12)的矩阵形式为：

Y=Bθ+ε,

(13)

(14)

(15)

对比可得到，要保证装备器材需求GM(1,1)预测模型的最小二乘估计是无偏的，要求

E[(BΤB)-1BΤε]=0.

(16)

E[(BΤB)-1BΤε]=0.

根据矩阵B为常值矩阵，如果有

E(ε)=0,

(17)

3 基于辅助变量的无偏最小二乘估计

下面针对E(ε)≠0时，给出一种获取装备器材需求GM(1,1)预测模型中参数的最小二乘无偏估计方法.

等式成立是获得无偏估计的关键，根据BΤB的可逆性可知，要使成立，最好是使E[BΤε]=0.考虑到矩阵B的元素为所采集的数据构成是确定的，不能改变，满足不了E[BΤε]≡0的条件.但通过对最小二乘法的分析可以看出，可通过引入一个与矩阵B同维数的矩阵Z，使如下式子成立：

E[ZΤε]=0，E(ZΤB)=Q，

其中，矩阵Q可逆.

对式两边同乘以ZΤ，则有ZΤY=ZΤBθ+ZΤε，则得到θ的一个估计为

显然有

当矩阵Z满足式、时，显然有：

显然，无论E(ε)是否为0，利用式计算得到的估计值恒为无偏估计.

显然，Z为Y=Bθ+ε中，当ε=0时的B矩阵，满足E[ZΤε]=0和E(ZΤB)=Q的条件.

4 算例仿真分析

为验证装备器材需求GM(1,1)预测模型中参数无偏估计的重要性，下面基于某部队装甲装备器材需求历史数据建立GM(1,1)预测模型.

某装甲部队近6年的装甲装备器材需求真实数据为(单位：千万)

考虑到装备器材需求数据在采集过程中可能会存在数据采集误差，因此，设数据采集误差e满足均值为0，方差为0.02的高斯正态分布N(0,0.02).实际采集数据

采用实际采集数据x(0)(k)建立装备器材需求的GM(1,1)预测模型，分别采用最小二乘法和本文所给出的辅助变量法对装备器材需求的GM(1,1)预测模型的参数进行估计，得到

可见，采用最小二乘法和采用辅助变量法，这两种方法得到的装备器材需求GM(1,1)预测模型中的待估计参数的估计值是相同的，出现这种情况，主要原因是在数据采集过程中，数据采集误差e满足高斯正态分布N(0,0.02)，该采集误差的期望为0，则导致最终的复合采集误差ε的期望为0，即满足条件E(ε)=0.这也说明，当数据采集误差的期望为0时，采用最小二乘法估计装备器材需求GM(1,1)预测模型中的参数，和采用本文所给的辅助变量法得到的GM(1,1)预测模型估计参数的数值没有区别.

若数据采集误差e满足均值为1，方差为0.02的高斯正态分布N(1,0.02)，同样采用最小二乘法和采用本文所给的辅助变量法分别对装备器材需求灰色预测模型中的参数进行估计，得到估计值分别为：

为验证辅助变量法在预测精度上的优势，分别采用最小二乘法和采用辅助变量法得到的参数对该装甲部队近6年的装备器材需求数据进行模拟.该部队近5年的装备器材需求实际数据、最小二乘估计下的模拟数值和辅助变量估计下的模拟数值分别如下： 选择如下的相对平均指标作为模型拟合精度的量化标准：

δ越小，说明装备器材需求的预测精度越高.

表1 装备器材需求真实值与模拟值

通过表1可以看出，当装备器材需求数据采集存在偏差，且偏差的期望不为0时，会导致复合偏差的期望E(ε)≠0，此时，仍然采用最小二乘法来对装备器材需求的GM(1,1)预测模型进行参数估计，导致最终的装备器材需求模拟值与实际装备器材需求值的相对平均误差为11.04%.当采用本文所给的辅助变量法来估计灰色预测模型的待识别参数时，装备器材需求的模拟值与真实值之间的相对平均误差下降为0.70%，有效提升了装备器材需求灰色预测模型的精度.

5 结语

装备器材需求预测关系到部队装备器材资源的最优配置和运营成本，因此，建立一个精确的装备器材需求预测模型至关重要.装备器材需求数据的采集会因为各种实际原因，导致采集到的数据与真实装备器材需求之间存在一定的数据采集偏差，从而影响着装备器材需求灰色预测模型的预测精度.

本文针对装备器材需求GM(1,1)预测模型，提出了一种改进灰色预测模型参数估计的方法，以提升装备器材需求灰色预测模型的预测精度.本文首先分析了装备器材需求灰色预测模型中传统最小二乘估计成立的条件是数据采集误差的期望为0.当装备器材需求的数据采集误差期望不为0时，为获得灰色预测模型中各参数的无偏估计，给出一种基于辅助变量法的参数估计方法，该方法无论装备器材需求数据采集偏差的期望是否为0，均能得到参数的无偏估计，有效提升了装备器材需求预测模型的精度.