次分数跳-扩散过程下亚式期权定价模型的数值解

胡 攀

(四川文理学院 数学学院,四川 达州 635000)

随着金融理论的发展和市场的完善,标准期权已不能满足投资者的需要,于是许多新型期权应运而生.亚式期权就是其中一种强路径依赖性期权,其价值取决于期权到期前一段时间内或整个有效期内的平均值[1].相比于普通期权,亚式期权的波动较小,能较好地规避投资风险,深受投资者喜爱. 传统的亚式期权定价,假设标的资产价格服从几何布朗运动,且无风险利率和波动率均为常数,由此得到的定价结果与真实值之间存在较大偏差.

针对上述定价偏差，许多学者做了大量的改进研究.主要体现在①考虑随机利率或随机波动率模型下的亚式期权定价[2-5]. ②考虑存在 “跳跃”情况的亚式期权定价问题[6-7]. ③将几何布朗运动推广为分数布朗运动,考虑标的资产价格服从分数布朗运动、混合分数布朗运动以及双分数布朗运动下的亚式期权定价[8-12]. 尽管分数布朗运动能很好地刻画金融市场的波动性及资产收益的“尖峰肥尾”现象, 但是分数布朗运动并不能很好地刻画标的资产的长记忆性以及资产价格变化的常值周期性.2004年Bojdecki[13]建立的次分数布朗运动不仅保持了分数布朗运动的性质，还能很好地刻画标的资产价格变化的常值周期性特征. 2007年Tudor[14]发现次分数布朗运动的退化速度优于分数布朗运动,能更好地刻画标的资产的长记忆性. 基于次分数布朗运动的期权定价参见文献[15-18]. 然而次分数布朗运动下的亚式期权定价至今还没有.

1 预备知识与模型假设

1.1 预备知识

(1)

1.2 模型假设

针对现实的金融市场,作如下假设:

1)市场利率服从次分数Ho-Lee随机利率模型

(2)

2)股票按红利率q连续支付红利.

3)交易费与交易额成正比,比例系数为δ.

4)股票价格遵循如下次分数跳-扩散过程:

(3)

2 零息票债券与亚式期权定价

2.1 零息票债券和股票价格

引理1 在次分数Ho-Lee随机利率模型下, 到期时间为T的零息票债券在t∈[0,T]时刻的价格

P(rt,t)=exp(A2(t,T)-A1(t,T)rt)，

(4)

其中A1(t,T)=t-T,

显然, 当t=T时A1(T,T)=A2(T,T)=0.

证明本定理的证明可参照文献[16]中引理1和定理1的证明方法,这里从略.

引理2 设股票价格满足随机微分方程(3), 则

(5)

证明假设股票价格St在随机时间t1,t2,…,tn,…处发生跳跃,对应的跳跃高度分别为J1,J2,…,Jn,…,在相邻2次跳ti,ti+1之间,St遵循次分数BS模型.跳跃时间tn服从参数为λ的Poisson过程. 在[ti,ti+1)上有

对∀t∈[t1,t2)有

重复上述迭代过程, 并考虑股票价格在[0,t]内没有跳跃的情况即可得引理结论.

2.2 亚式期权定价模型

(6)

边界条件

β(t)=ρσrσ0H(2-22H-1)t2H-1,γ(t)=rt-q-λθ.

证明利用Δ对冲原理构造资产组合Π, 选取适当的Δ使资产组合Π无风险, 即E(dΠ)=rΠdt. 该资产组合由一份亚式期权Ct,φ(t)份的股票St和Δt份的零息票债券Pt组成, 即Π=Ct-φ(t)St-ΔtPt.若股价在[t,t+dt]时段内无跳跃, 记ΔNt=0;否则记ΔNt=1.

①P{ΔNt=0}=1-λdt, 则资产组合的价值改变量dΠ1=dCt-φ(t)dSt-ΔtdPt-δ|Δφ(t)|St-φ(t)qStdt(其中Δφ(t)>0表示购买,Δφ(t)<0表示出售). 分别将dCt和dPt二阶Taylor展开得

(7)

(8)

2.3 定价模型的化简

为了求解方程(6), 先通过变元代换降低方程维数. 为此令

(9)

将(9)式代入方程(6)并结合(3)式, 注意到St+=yt(1+Jt)Pt,St=ytPt有

(10)

再令

(11)

将(11)式代入(10)式化简得

(12)

对应的边界

其中

3 定价模型的数值解

(13)

(14)

(15)

其中φ是标准正态分布函数.

(16)

结合(15)(16)两式可得

(17)

由τ=T-t可得tk=T-τk(k=1,…,N). 将方程(2)离散化得

(18)

根据方程(3), 对任意的k=1,2,…,N有

(19)

其中Ntk是在[tk-1,tk]内服从参数为λΔτ的Poisson分布的随机数.

(20)

(21)

将(17)、(20)和(21)式代入方程(12)化简得

(22)

于是方程(22)可化为如下矩阵形式

LUk=bk，k=1,2,…,N，

(23)

其中L=I+C+D,I为单位阵,C和D定义如下

(23)

显然,离散化后的(23)式中系数矩阵L具有如下形式:

将矩阵L的第1行第1列和第M行M列去掉,记余下的部分为Λ, 则

Λ是一个拓普利兹(Toeplitz)矩阵, 可以直接进行求解.

4 数值模拟

本节以几何平均亚式看涨期权为例，通过数值模拟来检验上述算法的有效性. 模拟采用的参数如下,

σ0=0.3,r0=0.04,μr=0.05,σr=0.2,H=0.8,ρ=0.5，K=S0,

T=0.5,δ=0.001,q=0.08,λ=2,θ=0.02,σJ=0.02.

股票初始价格S0分别取45, 55, 65, 75, 85, 95, 100. 时间节点数N分别取30, 50和100. 数值模拟次数n=1 000. 用Matlab编程计算, 结果见表1.

表1 几何平均亚式看涨期权的数值模拟结果

表中结果显示，几何平均亚式看涨期权的价格随股票价格的增加而增加. 在同一股价下，时间节点数由30增加到50 时，亚式看涨期权的价格随之增加; 当节点数由50增加到100 时, 亚式看涨期权的价格变化不大, 说明随着时间节点数的增加, 该算法有一定的收敛性, 节点数越多, 数值结果越精确.

5 结语

考虑了次分数Ho-Lee随机利率模型假设下有交易费和红利支付的几何平均亚式期权的定价问题.文中所建模型是在Hurst指数H>0.5条件下得到的, 对于H<0.5的期权定价问题是后续研究的内容.数值模拟的结果显示: ① 亚式看涨期权的价格与股票价格成正变关系.② 从数值结果来看,本文算法具有一定的合理性和有效性.