一个包含勾股数及完全数的三元变系数Euler函数方程的可解性

申江红,高 丽,张明丽

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

Euler函数是数论中的一个重要的函数，Euler函数方程的可解性也是数论方向的重要研究领域之一[1]，近期文献[2-10]讨论了k的不同取值下二元欧拉方程φ(mn)=k(φ(m)+φ(n))的可解性的问题；文献[11-13]分别讨论了当k=3,4,5时，三元欧拉方程φ(abc)=k(φ(a)+φ(b)+φ(c))的全部正整数解；对于文献[14]，张四保讨论了方程φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)的可解性.本文基于杨张媛[15]讨论的三元变系数欧拉方程φ(abc)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)的全部正整数解，讨论了一个包含勾股数及完全数的三元变系数Euler函数方程的可解性，并证明了下例方程有39组正整数解

φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)-14.

(1)

1 引理

显然，若(m,n)=1,则有φ(mn)=φ(m)+φ(n).

引理3[8]当n≥2时，有φ(n)

引理4 在Euler函数方程φ(abc)=k+lφ(c)中，若φ(ab)≥k+l+1,则该方程无正整数解.

因此φ(abc)=k+lφ(c)不成立.

2 定理及其证明

定理Euler函数方程(1)有且仅有39组正整数解.具体如下:

(a,b,c)=(9,1,12),(7,1,17),(9,1,17),(7,1,32),(7,1,34),(7,2,17),(7,1,40,)(9,1,32),(9,1,34),(9,2,17),(7,1,48),(9,1,40),(16,1,4),(20,1,4),(16,1,6),(24,1,4),(30,1,4),(20,1,6),(20,2,3),(19,1,5),(27,1,5),(19,1,8),(19,1,10),(19,2,5),(38,1,5),(27,1,8),(19,1,12),(27,2,5),(27,1,10),(34,1,5),(13,4,3),(13,3,4).(5,3,3),(8,3,3),(10,3,3),(5,6,3),(5,3,6),(5,8,3),(8,5,3).

证明对于欧拉函数方程φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)-6，

由引理3，所以

φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)-6≥φ(a)φ(b)φ(c),

(2)

即φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)-6≥(φ(a)φ(b)-5)φ(c)≥φ(a)φ(b)-5,

故有

(φ(a)-4)(φ(b)-3)≤11.

(3)

下面根据φ(a)、φ(b)的不同的取值分7种情况进行讨论.

情形1 当(φ(a)-4)(φ(b)-3)<0时，则有φ(a)≥6,φ(b)=1,2或者φ(a)=1,2,φ(b)≥4.

1) 当φ(a)≥6,φ(b)=1时，此时φ(abc)=3φ(a)+5φ(c)-2≥φ(a)φ(b),即

(φ(a)-5)(φ(c)-3)≤13.

(4)

①当φ(a)=6,φ(b)=1时，带入(4)式得φ(c)≤16,即φ(c)=1,2,4,6,8,10,12,14,16.

当φ(c)=1时，φ(abc)=21为奇数，此时(1)式不成立.

当φ(c)=2时，φ(abc)=26(不存在)，此时(1)式无解.

当φ(c)=4时，φ(abc)=36，abc=37,57,63,74,76,108,114,126.

由于a=7,9,14,18;b=1,2;c=5,8,10,12,此时(1)式有解(a,b,c)=(9,1,12).

当φ(c)=6时，φ(abc)=46，abc=47,94.

由于a=7,9,14,18;b=1,2;c=7,9，14,18，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=8时，φ(abc)=56，abc=87,116,174.

由于a=7,9,14,18;b=1,2;c=15,16,20,24,30，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=10时，φ(abc)=66，abc=67,134.

由于a=7,9,14,18;b=1,2;c=11,22，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=12时，φ(abc)=76(不存在)，此时(1)式无解.

当φ(c)=14(不存在)，此时(1)式无解.

当φ(c)=16时，φ(abc)=96，

abc=97，119,153,194,195,208,224,238,260,280,288,306,312,336,360,390,420，

由于a=7,9,14,18;b=1,2;c=17,32,34,40,48,60，经检验此时(1)式有解：

(a,b,c)=(7,1,17),(9,1,17),(7,1,32),(7,1,34),(7,2,17),(7,1,40,)(9,1,32),(9,1,34),(9,2,17),(7,1,48),(9,1,40).

②当φ(a)=8,φ(b)=1时，带入(4)式得φ(c)≤6,即φ(c)=1,2,4,6.

当φ(c)=1时，φ(abc)=27为奇数，此时(1)式不成立.

当φ(c)=2时，φ(abc)=32,abc=51,64,68,80,96,102,120，

由于a=15,16,20,24,30;b=1,2;c=3,4,6，此时(1)式有解(a,b,c)=(16,1,4),

(20,1,4),(16,1,6),(24,1,4),(30,1,4),(20,1,6),(20,2,3).

当φ(c)=4时，φ(abc)=42，abc=43，49,86,98，

由于a=15,16,20,24,30;b=1,2;c=5,8,10,12，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=6时，φ(abc)=52，abc=53，

由于a=15,16,20,24,30;b=1,2;c=7,9,14,18，经检验此时(1)式无解.

③当φ(a)=10,φ(b)=1时，带入(4)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2,4.

当φ(c)=1时，φ(abc)=33为奇数，此时(1)式不成立.

当φ(c)=2时，φ(abc)=38(不存在)，此时(1)式无解.

当φ(c)=4时，φ(abc)=48，abc=104,105,112,130,140,144,156,168,180,210，

由于a=11,22;b=1,2;c=5,8,10,12，经检验此时(1)式无解.

④当φ(a)=12,φ(b)=1时，带入(4)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2,4.

当φ(c)=1时，φ(abc)=39为奇数，此时(1)式不成立.

当φ(c)=2时，φ(abc)=44,abc=69,92,138，

由于a=13,21,26,28,36,42;b=1,2;c=3,4,6，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=4时，φ(abc)=54，abc=81,106,162，

由于a=13,21,26,28,36,42;b=1,2;c=5,8,10,12，经检验此时(1)式无解.

⑤当φ(a)=14(不存在)，φ(b)=1时，此时(1)式无解.

⑥当φ(a)=16,φ(b)=1时，带入(4)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2,4.

当φ(c)=1时，φ(abc)=61为奇数，此时(1)式不成立.

当φ(c)=2时，φ(abc)=56,abc=87，116,174，

由于a=17,32,34,40,48,60;b=1,2;c=3,4,6，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=4时，φ(abc)=66，abc=67,134，

由于a=17,32,34,40,48,60;b=1,2;c=5,8,10,12，经检验此时(1)式无解.

⑦当φ(a)=18,φ(b)=1时，带入(4)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2,4.

当φ(c)=1时，φ(abc)=57为奇数，此时(1)式不成立.

当φ(c)=2时，φ(abc)=62(不存在)，此时(1)式无解.

当φ(c)=4时，φ(abc)=72，

abc=73,91,95,111,117,135,146,148,152,182,190,216,222,228,234,252,270，

由于a=19，27,38,54;b=1,2;c=5,8,10,12，经检验此时(1)式有解：(a,b,c)=(19,1,5),(27,1,5),(19,1,8),(19,1,10),(19,2,5),(38,1,5),(27,1,8),(19,1,12),(27,2,5),(27,1,10),(34,1,5).

⑧当φ(a)≥20,φ(b)=1时，带入(4)式得φ(c)≤2,即φ(c)=1,2.

当φ(c)=1时，φ(abc)=3φ(a)+3为奇数，此时(1)式不成立.

当φ(c)=2时，φ(abc)=3φ(a)+8≥2φ(a),即：φ(a)≥-8与前提φ(a)≥20矛盾，时(1)式无解.

2) 当φ(a)≥6,φ(b)=2时，此时φ(abc)=3φ(a)+5φ(c)+2≥φ(a)φ(b),即

(φ(a)-5)(φ(c)-3)≤17.

(5)

①当φ(a)=6,φ(b)=2时，带入(5)式得φ(c)≤20,即

φ(c)=1,2,4,6,8,10,12,14,16，10,20.

当φ(c)=1时，φ(abc)=25为奇数，此时(1)式不成立.

当φ(c)=2时，φ(abc)=30，abc=31,62.

由于此时a=7,9,14,18;b=3,4,6;c=3,4,6,经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=4时，φ(abc)=40，abc=41,55,75,82,88,100，110,132,150.

由于a=7,9,14,18;b=3,4,6;c=5,8,10,12，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=6时，φ(abc)=50(不存在)，此时(1)式无解.

当φ(c)=8时，φ(abc)=60，abc=61,77,93,99,122,124,154,186,198，

由于a=7,9,14,18;b=3,4,6;c=15,16,20,24,30，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=10时，φ(abc)=70，abc=71,142.

由于a=7,9,14,18;b=3,4,6;c=11,22，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=12时，φ(abc)=80，abc=123,164,165,176,200,220,246,264,300,330，

由于a=7,9,14,18;b=3,4,6;c=13,21,26，28,36,42，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=14(不存在)，此时(1)式无解.

当φ(c)=16时，φ(abc)=100，abc=101,125,202,250，

由于a=7,9,14,18;b=3,4,6;c=17,32,34,40,48,60，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=18时，φ(abc)=110，abc=121,242，

由于a=7,9,14,18;b=3,4,6;c=19,27,38,54，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=20时，φ(abc)=120，

abc=143,155，175,183,225,231,244,248,286,308,310,350,366,372,396,450,462，

由于a=7,9,14,18;b=3,4,6;c=25,33,44,50,66，经检验此时(1)式无解.

②当φ(a)=8,φ(b)=2时，带入(5)式得φ(c)≤8,即φ(c)=1,2,4,6，8.

当φ(c)=1时，φ(abc)=31为奇数，此时(1)式不成立.

当φ(c)=2时，φ(abc)=36,abc=37,57,63,74,76,108,114,126.

由于a=15,16,20,24,30;b=3,4,6;c=3,4,6，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=4时，φ(abc)=46，abc=47,94.

由于a=15,16,20,24,30;b=3，4，6;c=5,8,10,12，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=6时，φ(abc)=56，abc=87,116,174.

由于a=15,16,20,24,30;b=3,4,6;c=7,9,14,18，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=8时，φ(abc)=66，abc=67,134.，

由于a=15,16,20,24,30;b=3,4,6;c=15,16,20,34,30，经检验此时(1)式无解.

③当φ(a)=10,φ(b)=2时，带入(5)式得φ(c)≤6,即φ(c)=1,2,4，6.

当φ(c)=1时，φ(abc)=37为奇数，此时(1)式不成立.

当φ(c)=2时，φ(abc)=42，abc=43,49,86,98.

由于a=11,22;b=3,4,6;c=3,4,6，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=4时，φ(abc)=52，abc=53.

由于a=11,22;b=3,4,6;c=5,8,10,12，经检验此时(1)式无解.

④当φ(a)=12,φ(b)=2时，带入(5)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2,4.

当φ(c)=1时，φ(abc)=43为奇数，此时(1)式不成立.

当φ(c)=2时，φ(abc)=48,abc=104,105,112,130,140,144,156,168,180,210.

由于a=13,21,26,28,36,42;b=3,4,6;c=3,4,6，此时(1)式有解：

(a,b,c)=(13,4,3),(13,3,4).

当φ(c)=4时，φ(abc)=58，abc=59,118，

由于a=13,21,26,28,36,42;b=3,4,6;c=5,8,10,12，经检验此时(1)式无解.

⑤当φ(a)=14(不存在)，φ(b)=2时，此时(1)式无解.

⑥当φ(a)=16,φ(b)=2时，带入(5)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2,4.

当φ(c)=1时，φ(abc)=55为奇数，此时(1)式不成立.

当φ(c)=2时，φ(abc)=60,abc=61,77,93,99,122,124,154,186,198.

由于a=17,32,34,40,48,60;b=3,4,6;c=3,4,6，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=4时，φ(abc)=70，abc=71,142.

由于a=17,32,34,40,48,60;b=3,4,6;c=5,8,10,12，经检验此时(1)式无解.

⑦当φ(a)=18,φ(b)=2时，带入(5)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2,4.

当φ(c)=1时，φ(abc)=61为奇数，此时(1)式不成立.

当φ(c)=2时，φ(abc)=66,abc=67,134.

由于a=19，27,38,54;b=3,4,6;c=3,4,6，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=4时，φ(abc)=76(不存在)，此时(1)式无解.

⑧当φ(a)=20,φ(b)=2时，带入(5)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2，4.

当φ(c)=1时，φ(abc)=67为奇数，此时(1)式不成立.

当φ(c)=2时，φ(abc)=72,

abc=73,91,95,111,117,135,146,148,152,182,190,216,222,228,234,252,270，

由于a=25,33,44,50,66;b=3,4,6;c=3,4,6，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=4时，φ(abc)=82,abc=83,166，

由于a=25,33,44,50,66;b=3,4,6;c=5,8,10,12经检验此时(1)式无解.

⑨当φ(a)=22,φ(b)=2时，带入(5)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2，4.

当φ(c)=1时，φ(abc)=73为奇数，此时(1)式不成立.

当φ(c)=2时，φ(abc)=78,abc=78,158，

由于a=23,46;b=3,4,6;c=3,4,6，经检验此时(1)式无解.

当φ(c)=4时，φ(abc)=88,abc=89,115,178,184,230,276，

由于a=23，46;b=3,4,6;c=5,8,10,12，经检验此时(1)式无解.

⑩当φ(a)≥24,φ(b)=2时，带入(5)式得φ(c)≤2,即φ(c)=1,2..

当φ(c)=1时，φ(abc)=3φ(a)+7为奇数，此时(1)式不成立.

当φ(c)=2时，φ(abc)=3φ(a)+12≥4φ(a),即：φ(a)≤12与前提φ(a)≥24矛盾，此时(1)式无解.

3) 当φ(a)=1，φ(b)≥4时，φ(abc)=4φ(b)+5φ(c)-3即φ(abc)为奇数，此时(1)式无解.

4)当φ(a)=2,φ(b)≥4时，此时φ(abc)=3φ(a)+5φ(c)-6≥2φ(a)φ(b) (6)

①当φ(a)=2,φ(b)=4时，带入(6)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2,4.

当φ(c)=1时，φ(abc)=21为奇数，此时(1)式不成立.

当φ(c)=2时，φ(abc)=26(不存在)，验此时(1)式无解.

当φ(c)=4时，φ(abc)=36，abc=37,57,63,74,76,108,114,126.

由于a=3,4,6;b=5,8,10,12;c=5,8,10,12，经检验此时(1)式无解.

2现令φ(b)=2n(n=3,4,5...),有8n+5φ(c)≥4φ(c),即：φ(c)≤2，得φ(c)=1,2.

此时：当φ(c)=1时，φ(abc)=4φ(b)+5为奇数，此时(1)式不成立.

当φ(c)=2时，φ(abc)=4φ(b)+10≥4φ(b)，即φ(b)取任意值不等式都成，与前提φ(b)≥6矛盾，故此处对φ(b)≥8的情况不再讨论.

情形2 当(φ(a)-4)(φ(b)-3)=0时，则有φ(a)任意取值,φ(b)=3(不存在)或者φ(a)=4,φ(b)任意取值.

1) 当φ(a)=4,φ(b)任意取值，有φ(abc)=4φ(b)+5φ(c)+6≥4φ(b)φ(c).

①当φ(c)=1时，φ(abc)=4φ(b)+11为奇数，此时(1)式无解.

②当φ(c)=2时，φ(abc)=4φ(b)+16≥8φ(b),即：φ(b)≤4,得φ(b)=1,2,4，

当φ(b)=1时，φ(abc)=20,abc=25,33,44,50,66.

由于a=5,8,，10,12;b=1,2;c=3,4,6,此时(1)式无解.

当φ(b)=2时，φ(abc)=24，abc=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90.

由于a=5,8,10,12;b=3,4,6;c=3,4,6,此时(1)式有解:

(a,b,c)=(5,3,3),(8,3,3),(10,3,3),(5,6,3),(5,3,6).

当φ(b)=4时，φ(abc)=32，abc=51,64,68,80,96,102,120.

由于a=5,8,10,12;b=5,8,10,12;c=3,4,6，经检验此时(1)式有解：(a,b,c)=(5,8,3),(8,5,3).

③当φ(c)=4时，φ(abc)=4φ(b)+26≥16φ(b)，得φ(b)=1,2.

当φ(b)=1时，φ(abc)=30，即abc=31,62.

由于a=5,8,10,12;b=1,2;c=5,8，10,12，经检验此时(1)式无解.

当φ(b)=2时，φ(abc)=34(不存在)，此时(1)式无解.

④当φ(c)≥6时，φ(abc)=4φ(b)+36≥24φ(b)，得φ(b)≤1,即φ(b)=1.

当φ(b)=1时，φ(abc)=5φ(c)+10≥4φ(c)，得φ(c)≥-10与φ(c)≥6矛盾，此时(1)式无解，往后不再讨论.

情形3 当(φ(a)-4)(φ(b)-3)=1时，则有φ(a)=5(不存在),φ(b)=4,此时(1)式无解.

情形4 当(φ(a)-4)(φ(b)-3)=2时，对2 得所有因子进行讨论：

1) 当φ(a)-4=1，φ(b)-3=2,得：φ(a)=5(不存在),φ(b)=5(不存在)，此时(1)式无解.

2) 当φ(a)-4=2，φ(b)-3=1，得：φ(a)=6,φ(b)=4.

此时φ(abc)=28+5φ(c)≥24φ(c),得φ(c)=1.则φ(abc)=33(不存在)，此时(1)式无解.

情形5 当(φ(a)-4)(φ(b)-3)=4时，对4得所有因子进行讨论，得

1) 当φ(a)-4=1，φ(b)-3=4,得：φ(a)=5(不存在)，φ(b)=7(不存在)，此时(1)式无解.

2) 当φ(a)-4=2，φ(b)-3=2，得：φ(a)=6，φ(b)=5(不存在)，此时(1)式无解.

3) 当φ(a)-4=4，φ(b)-3=1，得：φ(a)=8，φ(b)=4，

此时φ(abc)=34+5φ(c)≥32φ(c),得φ(c)=1.则φ(abc)=39(不存在)，此时(1) 式无解.

情形6 当(φ(a)-4)(φ(b)-3)=6时，对6得所有因子进行讨论，得

1) 当φ(a)-4=1，φ(b)-3=6,得：φ(a)=5(不存在)，φ(b)=7(不存在)，此时(1)式无解.

2) 当φ(a)-4=2，φ(b)-3=3，得：φ(a)=6，φ(b)=6，

此时φ(abc)=36+5φ(c)≥36φ(c),得φ(c)=1.则φ(abc)=41(不存在)，此时(1)式无解.

3) 当φ(a)-4=3，φ(b)-3=2，得：φ(a)=7(不存在)，φ(b)=5(不存在)，此时(1)式无解.

4) 当φ(a)-4=6，φ(b)-3=1，得：φ(a)=10，φ(b)=4，

此时φ(abc)=40+5φ(c)≥40φ(c),得φ(c)=1.则φ(abc)=45(不存在)，此时(1)式无解.

情形7 当(φ(a)-4)(φ(b)-3)=8时，对8得所有因子进行讨论，得

1) 当φ(a)-4=1，φ(b)-3=8,得：φ(a)=5(不存在)，φ(b)=11(不存在)，此时(1)式无解.

2) 当φ(a)-4=2，φ(b)-3=4，得：φ(a)=6，φ(b)=7(不存在)，此时(1)式无解.

3) 当φ(a)-4=4，φ(b)-3=2，得：φ(a)=8，φ(b)=5(不存在)，此时(1)式无解.

4) 当φ(a)-4=8，φ(b)-3=1，得：φ(a)=12，φ(b)=4，

此时φ(abc)=46+5φ(c)≥48φ(c),得φ(c)=1.则φ(abc)=51(不存在)，此时(1)式无解.

情形8 当(φ(a)-4)(φ(b)-3)=10时，对10得所有因子进行讨论，得

1) 当φ(a)-4=1，φ(b)-3=10,得：φ(a)=5(不存在)，φ(b)=13(不存在)，此时(1)式无解.

2) 当φ(a)-4=2，φ(b)-3=5，得：φ(a)=6，φ(b)=8，

此时φ(abc)=44+5φ(c)≥48φ(c),得φ(c)=1,则φ(abc)=49(不存在)，此时(1)式无解.

3) 当φ(a)-4=5，φ(b)-3=2，得：φ(a)=9(不存在)，φ(b)=5(不存在)，此时(1)式无解.

4) 当φ(a)-4=10，φ(b)-3=1，得：φ(a)=14(不存在)，φ(b)=4，此时(1)式无解.

3 结论

Euler函数φ(n)是数论中的一类极其重要的函数，有关此类方程的解的研究也是数论方向的活跃课题之一.本文给出了一个含勾股数及完全数的三元变系数Euler函数方程φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)-6的所有解.