面向5G 的低复杂度稀疏信道估计算法实现

马 晨，苏艳涛

（1.中国联通韶关市分公司，韶关 512026；2.广东省电信规划设计院有限公司，广州 510630）

1 概述

随着移动通信及终端技术的发展，人们对无线网络提出越来越高的要求：更大的数据流量、更多的设备连接、更低的业务时延等，现有的通信技术无法满足上述诉求，第五代移动通信（5G）技术应运而生。5G 采用了大规模MIMO（Massive MIMO）[1]、稀疏码分多址（Sparse Code Multiple Access，SCMA）、高阶正交幅度调制（Quadrature amplitude modulation，QAM）等关键技术来提升通信性能。然而在实际通信中，信道估计的地位举足轻重，只有得到精确的信道状态信息（Channel State Information，CSI），才能够保证可靠的通信体验。考虑到频谱效率和计算复杂度的影响，5G 移动通信系统需要高效且准确的信道估计[2]。

无线信道的时变多径特性给信号的传播带来了严重的失真，为了“弥补”失真，经典的信道估计方法通过发射大量导频获得CSI，降低了系统的频谱利用率。实际上，众多学者的研究表明，时变多径信道往往呈现出稀疏性[3]。为了利用信道的内在稀疏特性，许多研究者研究CS 在稀疏信道估计中的应用。针对时变稀疏多径信道，K.Chelli 提出了一种适用于多径延迟估计的度量方法来提高信道估计的性能[4]；文献[5]提出一种基于压缩感知的线性最小均方误差信道估计算法，通过最小化均方误差达到提高估计精度的目的；此外，还有很多文献通过匹配最佳的导频位置来获取精确的CSI[6-7]。虽然这些方法获得了较高的估计精度，但由于它们的计算复杂度较大，因此难以实际应用。如何设计一个估计精度高且计算复杂度低的信道估计方法，才是5G 无线通信迫切需求的。

截至目前，只有少量的学者研究低复杂度稀疏信道估计。文献[8]给出了一种低复杂度信道估计算法，然而由于算法本身的缺陷，难以实际应用。文献[9]提出了一种新颖的低复杂度稀疏信道估计方法：正交匹配追踪（Generalized Orthogonal Matching Pursuit，GOMP）算法。它在算法每次迭代过程中选择多个原子，从而加快算法的收敛。考虑GOMP 算法的思想，本文提出一种更加有效的原子选择方法：利用LS 算法选择原子，称为M-GOMP（Modified-Generalized Orthogonal Matching Pursuit，M-GOMP）算法。它以新的角度高效地选取原子，避免了贪婪算法中的反复循环迭代，从而进一步大大降低算法的计算复杂度。

此外，文献[6]指出，最小化测量矩阵的相干性可以有效的提高估计性能，同时不会增加信道重建的复杂度。因此，本文结合测量矩阵相干性最小化和M-GOMP 算法给出估计精度高且计算复杂度低的信道估计方法。实验仿真证明了所提方法在估计精度和复杂度方面的有效性。

2 问题陈述

2.1 系统模型

假设有一个K稀疏度的无线稀疏信道，发射端发射M个导频，即X=diag[x（k0），x（k1），!，x（kM-1）]，其中k0，k1，...，kM-1表示导频所在的位置。经过无线信道传播之后，接收端接收到一个M×1的信号向量：y=[y（k0），y（k1），...，y（kM-1）]T，（g）T 表示转置，整个过程可以用式（1）表示：

式中，N 表示稀疏信道的长度；h 是一个N×1的K 稀疏度信道向量，即向量h 中仅有K 个非零值；ω 表示复高斯白噪声，大小为M×1；FM×N表示部分傅里叶矩阵，它主要通过选取傅里叶变换矩阵的k0，k1，…，kM-1行元素构成，即

式中，A=[a1，a2，…，aN]称为测量矩阵，大小为M×N，ai是A 的列向量。文献[10]指出如果A 满足约束等距原则（Restricted Isometry Property，RIP），就可以从y 中精确地恢复出原信号h。我们将RIP 特性写作引理1。

引理1：对任意K 稀疏向量h，如果存在一个常数δK∈（0，1），使得（4）式成立

则称A 满足K 阶RIP 特性，其中||g||2表示l2范数。获得接收导频向量y 之后，采用一定的恢复算法，就可以将信道h 从y中恢复出来。

2.2 基于正交匹配追踪的信道重建

正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）是CS重构算法中的一个基本算法，具有估计精度高，信道重建鲁棒性好的优点。但由于OMP 算法较高的计算复杂度而难以实际应用。OMP 算法的重建信道的过程可以用式（5）表示

式中，rt是第t 次运算产生的残差；是A 的部分矩阵，通过引脚集合Λt选取测量矩阵的列向量构成；表示內积运算。OMP 算法通过不断地迭代来减小残差rt，最终得到估计精度较高的信道h。实际上，重建信道h 的关键在于寻找K 个非零值对应的原子，即匹配原子。获得全部匹配原子后，通过最小二乘法可以准确的重建信道。低效的原子选择方法是导致OMP 算法计算复杂度高的主要原因，本文建立式（6）解释说明

式中，C 表示引脚集合，C 中的每个引脚都有一个原子与之对应。OMP 算法的核心是寻找K 个非零值所在的位置，即搜寻引脚，进而匹配出对应的原子。OMP 算法在每次迭代过程中需做N 次相关获得集合C，然后仅取其中一个引脚重建信道，这大大降低了算法的运行效率。当无线信道的稀疏度较大时，OMP算法重建信道的低效性更加突出。

3 有效的信道估计

针对OMP 算法在每次迭代过程中仅匹配一个原子，重建信道效率低的问题，本文给出一种高效的原子选择方法并结合测量矩阵相干性最小化实现信道的快速精确重建。

3.1 M-GOMP 算法

文献[9]给出的GOMP 算法提供了一种快速的原子选择方法：在每次迭代过程中选择n（n ≥1）个原子，从而快速地重建信道。考虑GOMP 算法的信道重建方法，本文提出更加有效的引脚选取方法，即M-GOMP 算法。其具体实现如下：

输入：接收导频y，测量矩阵A，稀疏度K初始化：索引集Λ=

其中，（g）H表示共轭转置，表示信道向量h 的估计。在上述算法中，LS 被用来搜寻原子。由于LS 具有简单易实现的优点，因此本文给出的M-GOMP 算法可以实现快速的信道重建。为了方便理解，我们给出M-GOMP 算法的执行示意图，如图1所示。

图1 M-GOMP算法示意图

从图1可知，与OMP 算法或者GOMP 算法的多次循环不同，整个M-GOMP 算法从左到右只执行一次就可以实现信道的重建，大大提升了算法的运行效率。在估计精度方面，由于我们可以从

部分场景可能需要较高的估计精度，因此对高精度估计问题的研究仍具有意义。但是一般情况下，较高的估计精度意味着较大的计算复杂度，如何设计出一个估计精度高且计算复杂度低的信道估计方法仍是一个亟需解决的问题。

3.2 相干性最小化提升估计性能

文献[6]指出，最小化测量矩阵的相干性可以有效的提高信道估计性能，同时不会给接收端的信道重构带来额外的附加时间消耗，并给出了估计精度与相干性的关系：

引理2：对于一个字典矩阵Ψ 和一个观测矩阵Φ，假设ΦΨ 满足RIP 原则，如果y=ΦΨa=Pa 满足不等式

那么采用贪婪算法重建的

式中，ε 是一个大于零的常量；μ（P）表示矩阵P 的相干性

式中，Pi表示矩阵P 的列向量。

从引理2的（8）式可以看出，μ（P）越小，重建α 的误差就越小，因此我们可以通过减小矩阵P 的相干性来达到提升估计性能的目的。实际中一般采用平均相干性，令则P 的平均相干性可以表示为

在本文中，我们通过最小化测量矩阵A 的相干性来提高信道估计的精度。文献[6]指出，影响μ 大小的因素有两个：导频的位置及其大小。同时考虑这两个因素将会是一个复杂的联合最佳化问题，因此我们假设所有的导频采用等间隔设置，通过设计导频的大小达到最小化μ 的目的。其实现步骤如下：

输入：傅里叶变换矩阵F，阈值δ，衰落因子λ，最大迭代次数I。

初始化：令导频矩阵X 的元素为0均值，方差1/M 的复高斯随机变量。

⑥判断：如果t＞I，则停止迭代，输出结果。否则，令t=t+1，返回步骤①。

图2 高精度低复杂度的信道估计示意图

为了方便对比，本文同时采用LS 算法和最小均方误差（Minimum Mean-squared Error，MMSE）算法重建信道，它们分别可以用式（12）和式（13）表示

式中，H 是信道h 的傅里叶变换；RHH为H 的自相关矩阵；σ 表示噪声的标准偏差。

4 仿真分析

本文分别给出均方误差（Mean Square Error，MSE）仿真和运行时间仿真，从估计精度和计算复杂度两个方面验证所提算法的有效性。

4.1 均方误差仿真

假设收发信机之间的无线信道具有如下参数：N=496，K=12。发射机分别发送高斯随机导频和相干性最佳化的导频，导频长度为M=256，同时引入复高斯白噪声。令GOMP 算法的原子选择步长分别取n=25，9，归一化的MSE 仿真结果如下图所示。

图3 不同信噪比下的MSE性能比较

图4 不同稀疏度下的MSE性能比较

图3 是不同信噪比条件下的MSE 仿真。仿真结果表明，信道的估计精度随着信噪比的增加而提高。与LS 算法对比，采用匹配追踪方法选取原子的OMP 算法和GOMP 算法以及改进的M-GOMP 算法均具有较高的估计精度。此外，采用最佳导频的M-GOMP-op 算法提供了更好的估计性能。证明所提算法有效的减少了测量矩阵的相干性，提高了系统的估计精度。

图4是无线信道在不同稀疏度条件下的MSE 仿真。仿真结果表明，信道的估计精度随着信道稀疏度的增加而降低。这是由于导频数量固定，当信道越来越不稀疏时，算法获取的信道信息越来越少，进而导致信道重建精度的下降。虽然各个算法的估计精度随着稀疏度的增加而下降，但是本文给出的M-GOMP 算法和M-GOMP-op 均展现了良好的性能。其中M-GOMP-op 算法在不同的 值条件下均取得了较高的估计精度，证明了所提算法的稳健性。

在上述MSE 仿真中，虽然MMSE 算法的估计精度最高，但是由于其较高的计算复杂度而难以实际应用。仿真中，MMSE 算法可以作为一个精度上界进行参考。

4.2 运行时间仿真

接下来验证算法的运行效率，无线信道的相关参数设置如下：SNR=5dB，M=512，K=12。因为MMSE 算法的计算复杂度较大，本次仿真仅考虑其他几个算法，仿真结果如图5。

图5 不同信道长度下的运行时间比较

由于测量矩阵的相干性最小化不占用信道重构的时间，因此仿真图中用线型“+”表示M-GOMP 和M-GOMP-op 的运行时间。仿真结果表明各个算法重建信道的时间随着信道长度的增加而增加。由于GOMP 算法在每次迭代中选择多个原子，加快了算法的收敛速度，因此GOMP 算法表现出了较好的性能。值得注意的的是M-GOMP 算法和M-GOMP-op 算法具有更优越的表现。当信道长度较长时，它们甚至可以节约超过85%的时间，这证明了所提算法在计算复杂度方面的有效性。

由于算法的计算复杂度与迭代次数密切相关，因此本文给出各个算法的平均迭代次数仿真，仿真结果如图6。

图6 不同稀疏度下的迭代次数比较

图6 是各个算法在不同的稀疏度下的迭代次数仿真。受益于原子选择效率的提高，GOMP算法的迭代次数明显低于OMP算法。此外，由于本文给出的M-GOMP-op 算法重建信道只需执行一次迭代，因此可以大大提高算法的运行效率。图6的仿真结果再次验证了M-GOMP-op 算法在计算复杂度方面的优越性和稳健性。

4.3 复杂度分析

本小节给出算法的计算复杂度分析，从理论上验证所提算法的有效性。GOMP 算法的计算复杂度可以用下式表示：CGOMP≈2sMN+（2n2+n）s2M，其中s 表示算法的迭代次数。假设GOMP 算法在每次迭代中仅匹配一个原子，即n=1，那么GOMP算法将转化为OMP 算法。因此OMP 算法的计算复杂度可以表示为CGOMP≈2KMN+3K2M。文献将一次乘法和一次加法分别作为一个基本的运算，基于此，我们来分析M-GOMP 算法的计算复杂度。

（1）识别：由于这一步涉及到矩阵求逆，复杂度较高，因此我们先求出信道的频域响应H，然后利用IFFT 将H 转换到时域，这样只需要2M+（2M-1）N 次运算。此外，将h0排序并取前K个最大值，需要（NK-K（K+1）/2次运算。

（2）估计：这一步也涉及到矩阵求逆，因此我们同样利用QR 分解和改进的格兰-施密特（Modified Gram-Schmidt，MGS）算法求解，这样总的运算次数为2K2M+5KM+K3+4K2-K。

由于M-GOMP 算法只进行一次迭代，因此它的总的复杂度可以表示为CM-GOMP≈2MN+2K2M。此外，由于测量矩阵的相干性最小化可以在信号发送之前完成，不占用接收端的信道重构时间，因此M-GOMP-op 算法的计算复杂度可以表示为CM-GOMP-OP≈CM-GOMP≈2MN+2K2M。

现在我们来对比分析不同算法的计算复杂度。考虑到GOMP算法中的两个关键参数s 和n 都比较小，因此其计算复杂度可以表示为O（sMN），OMP 算法的计算复杂度可以表示为O（KMN）。因为GOMP 算法一次迭代匹配多个原子，迭代次数s 往往比K 小很多，因此GOMP 算法大幅度降低了算法的计算复杂度。此外，由于K=M，M＜N，因此M-GOMP算法和M-GOMP-op 算法的计算复杂度可以表示成O（MN）。与OMP 算法和GOMP 算法对比，本文给出的算法具有更低的计算复杂度。

值得注意的是，虽然测量矩阵的相干性最小化不占用接收端的信道重构时间，但由于其通过循环迭代实现，需要一定的硬件消耗，因此针对高精度需求的场景可以采用M-GOMP-op 算法，而在一般的场景中采用M-GOMP 算法即可。

5 结束语

本文结合测量矩阵相干性最小化和快速的原子选择给出一种高精度低复杂度的信道估计方法，即M-GOMP-op 算法，它通过相干性最小化实现高估计精度，通过LS 算法选择原子，实现低计算复杂度。理论分析和计算机仿真表明，M-GOMP-op 算法在提高信道估计精度的同时可以大幅度降低算法的计算复杂度。M-GOMP-op 算法的提出为5G 无线通信实现高效且准确的信道估计提供了一个有效的解决方法。