巧借椭圆结论，妙解数学问题

☉江苏省怀仁高级中学 谢建金

圆锥曲线的定值问题是高考数学中的常见题型之一，也是备受命题者、老师与学生关注的焦点之一，难度一般是中等及中等偏上.圆锥曲线的定值问题充分体现了动与静的完美统一，是解析几何知识的综合与交汇问题，其背景生动，内容丰富，综合性较强，因而趣味性也较强，充分将函数与解析几何融为一体，要求有较强的综合能力与应变能力，充分考查了学生的数学能力与素养.下面通过证明给出椭圆中的一个定值性质，进而加以变式推广，并借助相关性质与推广巧妙处理椭圆中的有关问题.

一、结论呈现

【性质】已知椭圆，O为坐标原点，A，B是椭圆上的点，且满足OA⊥OB，则有

证法1：（常规方法）当直线OA、OB的斜率存在时，设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为，将y=kx代入椭圆，整理可得，同理可得，则有所以

当直线OA、OB中的一个斜率不存在时，此时A、B分别是椭圆的长轴、短轴的一个顶点，此时显然有成立.

证法2：（距离转化法）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+n，将x=my+n代入椭圆1，整理可得（a2+b2m2）y2+2b2mny+b2n2-a2b2=0，则有y1+y2=可得x1x2=（my1+n）（my2+n）=

证法3：（三角换元法）设|OA|=m，|OB|=n，则可设，化简可得B（nsinθ，-ncosθ）.而点A、B在椭圆上，则有将以上两式对应相加，可得成立.

证法4：（极坐标法）以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，则x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入椭圆可得由于OA⊥OB，设那么成立.

点评：常规方法证明中要注意讨论“直线OA、OB的斜率存在”与“直线OA、OB的一个斜率不存在”的情况；而距离转化法中巧妙地设出直线AB的方程为x=my+n，避免对直线AB的斜率是否存在加以讨论；三角换元法中巧妙利用角的转化，通过诱导公式与三角函数的相关公式来处理，简单巧妙；而极坐标法处理也非常具有巧妙之处.其实，若碰到这个结论的填空题或选择题形式，可以直接采取特殊点法来确定答案，这也不失是一种特殊方法.

二、结论应用

1.代数式的求值问题

例1已知椭圆，O为坐标原点，A，B分别是椭圆C上的点，且OA⊥OB，则的值为______.

分析：利用常规方法破解此题较为复杂，而借助椭圆的定值性质来处理，简单有效.

解：根据以上的性质有，故填答案

点评：除借助椭圆的定值性质来简单处理外，还可以借助定值的背景，通过特殊点法来处理，选取A、B分别为椭圆的长轴、短轴的顶点时，满足题目条件，可以达到利用特殊点法解决一般性问题的目的.

2.参数的取值范围问题

例2（浙江省杭州市2019届高三4月教学质量检测·10）已知椭圆Г：，直线x+y=1与椭圆Г交于M，N两点，以线段MN为直径的圆经过原点.若椭圆Г的离心率不大于，则a的取值范围为（ ）.

分析：利用常规方法破解，比较难处理，不易切入与转化.而借助椭圆的定值性质的推广，从题目中的条件来确定OM⊥ON，进而有效利用相应的结论来处理，不失是一种非常好的思路.

解：由于以线段MN为直径的圆经过原点，则有OM⊥ON.

点评：通过题目中的隐含条件加以挖掘，得以确定垂直关系，为利用椭圆的定值性质及相关推广结论指明方向.同时，借助椭圆的定值性质来解决此类问题，小巧玲珑，效果极佳.

3.参数值的求解问题

例3（重庆市巴蜀中学2019届高考适应性月考4月（理）·20）已知椭圆C：，长轴长为4，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，E是椭圆C上的任意一点，△F1F2E面积的最大值为，且取得最大值时∠F1EF2为钝角.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知圆O：x2+y2=r2（r＞0），M为圆O上任意一点，过点M的切线分别交椭圆C于P，Q两点，且，求r的值.

分析：利用常规方法破解圆O的半径r的值，处理起来比较烦琐.而借助椭圆的定值性质与推广来处理，基本可以达到“秒杀”的目的.

解：（1）由题可得2a=4，即a=2.

显然，当E是椭圆C的上、下顶点时，△F1F2E的面积取得最大值，此时S=bc=.

又由于b2+c2=a2=4，与bc=联立，解得b=1，c=或b=，c=1.

由于过点M的切线分别交椭圆C于P，Q两点，则原点O到直线PQ的距离为d=r.

点评：利用椭圆的定值性质与推广来处理，基本可以达到“秒杀”的目的.

在破解一些椭圆的相关问题中，如果能够巧妙借助以上椭圆的相关性质与推广，特别在解答一些选择题或填空题时是一种很好的方法.可以很好地处理问题，从而有效提升学习的宽度与深度，提高数学效益，培养数学素质，提升思维品质.