高中数学函数和数列结合的解题方法

■赵一鸣

随着新课改的不断深入与发展,高中数学学科领域也提出了更高的标准和要求。数学课程逻辑性较强且前后知识相关性强,这就更加需要我们在学习数学课程时,重视前后内容的联系,从而不断提高分析问题的能力,拓宽解题思维。

一、高中数学函数与数列知识的联系

数列属于特殊的一种函数,也称为整标函数,是定义域为正整数集的函数,自变量是项数,数列的各项值即函数值。按函数的定义,函数的自变量自小到大地依序排列,能够得到相对应的数值。函数具有自身的特征,数列通项求和公式相对应的是函数特性的意义,在解答高中数学数列问题时,灵活引入函数知识,能方便数列问题的顺利解决,通过图像及特征分析,帮助我们了解数列和函数间的联系。故在解答数列问题时,我们要巧妙应用函数概念将函数与数列二者有效结合。探索函数与数列的关系,能更好地帮助我们学习数列的相关知识内容。

二、高中数学函数与数列结合思路探析

1.函数和等比数列的结合。在高中数学等比数列知识的学习中,将其与函数有效地结合,可以锻炼我们的解题思维能力。此种题目的难度比较大,可将等比数列公式和函数有效地转换,画出相应的函数图像,将这种数量关系有效结合,完成问题的解答。

在解答这样的问题时,需要明确解题思路,寻找函数和等比数列之间的数量关系,根据之间的数量关系对其深入分析,完成问题的快速解答。在解题的过程中,要根据已知条件中图像经过的两点,求解出a和b的值。根据题目中的条件,判断数列{an}的性质,求解出数列的通项公式,有效解决数学问题。

2.函数和等差数列的结合。在等差数列知识的学习中,根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可以转化为an=dn+(a1-d),可以将其看成an=pn+q,当p≠0时,其是关于n的一次函数。有效利用一次函数关系,对函数和等差数列的关系深入分析,可顺利解答等差数列问题。

例题已知二次函数f(x)=x2+2(10-3n)x+9n2-61n+100(n∈N)。(1)如果二次函数的顶点横坐标构成数列{an},证明数列{an}是等差数列;(2)假设函数y=f(x)图像的顶点到x轴的距离构成数列{dn},求解数列{dn}的通项公式。

在解答这样的问题时,我们需要对题干进行分析,找出已知条件和隐藏条件,分析数列和函数之间的联系和区别,同时画出二次函数的图像,对其坐标深入分析,可通过这样的解题思路写出关于n的函数表达式。问题(1)在解答的过程中,根据函数f(x)可以得出顶点的横坐标,得出数列{an}的通项表达式,根据通项表达式判断数列是等差数列。在问题(2)的解答中,根据函数f(x)的表达式,求解y轴和顶点之间的距离,得出数列{dn}的通项公式,根据题意列出相应的不等式,解决问题。

总结：数列和函数作为高中数学的重要知识点,两者存在着特殊的关系。因此,在高中数学知识学习的过程中,我们需要将函数和数列知识有效地结合,从中找出解决数列问题的切入点,扩展数学问题解题思路,锻炼自身的解题能力,有效解答数列难题。