小学数学习题设计要立足数学本质的把握

叶建云

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）在“课程内容”中提出十大核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。《中国学生发展核心素养》指出：核心素养以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与3个方面，综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，具体细化为18个基本要点。史宁中教授认为，现在讨论核心素养，很难讨论得特别清楚，但是有一句话是非常好的，就是培养一个孩子，这个孩子可能未来不从事数学，那培养的终极目标是什么呢？终极目标就是学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。也有不少学者认为，《课程标准》在“课程内容”中提出的十大核心概念就是小学数学核心素养培养之目标。

以上简短的一段话里，有三组关键词：第一组——课程内容，十大核心概念;第二组——中国学生发展核心素养，六大素养，18个基本要点;第三组——终极目标，数学的眼光，数学的思维，数学的语言。

这三组关键词又会产生这几个值得深思的问题：十大核心概念就是小学数学核心素养培养之目标吗？如果要落实《中国学生发展核心素养》，一定要靠学科核心素养来支撑吗？史宁中教授提出的一个孩子学习数学的终极目标，就是数学学科学习的学科核心素养吗？

我们先来看看以下两道习题的设计及其在课堂教学中的场景。

【教学案例1】

一位教师在教学北师大版五上第53～54页“平行四边形的面积”时，设计了这样一道习题（选择题）。

把一个平行四边形沿着高剪开，再拼成一个长方形，它的周长（  ），面积（  ）。

A. 比原来小   B. 和原来相等

C. 比原来大   D. 无法判断

在学生练习过程中，对于“面积（ ）”这一选项，大部分都知道选择正确答案B。但是，对于“它的周长（ ）”，则4种答案都有学生选择。这时，教师在学生小组讨论后，让不同意见的学生代表上台发言。选答案A的学生：“看上去，两条斜的边变成了两条短的边，两条底都还在，因此周长变小。”选答案B的学生一边用两只手的四根手指进行演示一边介绍：“大家看我的手指变化——这四根手指围成了一个平行四边形，我把它拉成一个长方形，它的周长没有一点变化！因此，周长和原来相等。”选答案C的学生：“因为你把平行四边形沿着高剪开，再拼成一个长方形，平行四边形肚子里的高就跑边上去了，就变成周长的一部分了，因此，周长比原来大。”选答案D的学生：“感觉前面三种答案都有问题，因此我们无法判断。”

在课后的交流中，不少听课者问起教师本道习题的设计意图，他认为，在本课的学习中，学生刚知道了如何求平行四边形的面积，设计这一道习题，让学生判断周长的变化，在学习面积的基础上，既复习了周长，又可以进一步培养学生的观察能力，培养学生的空间观念和推理能力，还让学生学会用数学的思维思考现实世界，从而培养学生的核心素养。

从该教师的回答中，我们可以看出，他是有认真学习《课程标准》的十大核心概念，也应该对《中国学生发展核心素养》有所了解，还善于阅读，知道史宁中教授提出的“数学的眼光，数学的思维，数学的语言”。可是，问题出在哪里呢？

北师大版小学数学教材有一个明显的特色是“情境+问题串”。本节课的教材里，通过智慧老人，呈现第一个问题（图1）。

这个问题，直指本课学习的关键，让学生思考后明白：拼成的长方形与原来的平行四边形的面积相等。接着，教材出示另一个问题：“怎样求平行四边形的面积？想一想，并与同伴交流。”（图1）

在这里，两个先后出现的问题指向非常明确：一个指向转化前后的面积相等，一个指向求平行四边形的面积转化成求长方形的面积。简单地说，这两个问题均指向本节课的数学本质——面积的意义与求法。回到我们前面分享的教学，教师在这里设置的面积变化情况的判断，是可以起到知识巩固的作用，但是关于转化前后周长的判断，在学生才刚刚学习了平行四边形的面积，急需要巩固与加深对平行四边形面积公式的推导过程的理解与认知时，这样的判断实质上干扰了学生对于平行四边形面积求法的把握，教学效果自然欠佳。本道习题设计，即使在期末复习阶段或期末测试使用，也不妥——它或多或少干扰了学生对平行四边形面积求法的把握。那么，在平行四边形的面积教学过程中，可以设计什么样的与周长有关的练习呢？以下两道习题可以尝试。

1. 把一个平行四边形沿着对角拉成长方形，它的周长（  ），面积（  ）。

2. 把一个长方形沿着对角拉成平行四边形，它的周长（  ），面积（  ）。

以上两道习题，部分学生可能容易产生混淆，可以让学生们用四支铅笔或用自己的两只手的四根手指像例1教学时选答案B的那位学生演示的那样演示几遍，由于操作简便、直观，学生能很快发现转换过程中底与高的“变与不变”的信息，自然就明白其中的数学道理了。这样的习题设计及教学，让学生在动手操作中观察、明理，切实培养了学生的应用意识，让学生尝试“学会用数学的眼光观察现实世界”，自然而然地在学习过程中发展核心素养。

【教学案例2】

一位教师在教学北师大版四下第9～10页“比大小”（小数的大小比较）时，设计了这样一道习题。

用3，5，9，0组成的最大的小数是（  ）。

在教学过程中，学生们基本上分成两大阵营：有的说是9530，有的认为是9503，谁也说服不了谁。有趣的是，听课教师随后在評课中，也和两类学生的想法一样，明显地分成两大阵营。笔者总结了部分观点。

观点1：小数是实数的一种特殊的表现形式，它由整数部分和小数部分组成，这是小数的形式。但从意义上看，把单位“1”平均分成10份、100份、1000份……表示这样的一份或几份的，叫小数，其中一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几。基于此，这题的答案应该是9503。

观点2：形如9、78、953这样的数是整数;形如85、107、9530、95300这样的数是小数。从数学角度看，在表达整数和小数的时候，所用的符号不同，有小数点，并且小数点后面有数字的数是小数，只有整数部分的数是整数。在现实情境中，953和9530表示的意义不一样，953可以表示953个人，而不用9530个人;测量时，9530米和95300米虽然相等，但区别很大。所以这题的答案应该是9530。

观点3：根据《数学辞海》中有关“小数”的条目：小数是非整（实）数的一种表示方式，小数a必可表示成a=b+c形式，其中b是整数，而且0

观点4：生活中处处有小数。例如，生活中的20、200，难道说，它们就不是小数了？小数的基本性质，充分说明小数的末尾是可以为0的。书中所载应与时俱进。这里判断为9530，有利于学生对小数意义的理解。

观点5：第一，从小数本身的意义讲，650和6500意义是不一样的，分别是保留一位小数和保留两位小数;第二，这样的题目本身意义不大，属于人为编造的题目，建议少花时间，不要把智慧用在这上面;第三，如果这个题目一定要给出一个答案的话，我认为9530是对的。

观点6：在精确数的范围中，是9503;在近似数的范围中，是9530。数学命题一定是有前提条件，出这样的题目价值不大。

从上述觀点可以看出，确实，本道习题出现争议，不是学生数学知识有问题，也不是教师的数学认知有问题，应该是“出这样的题目价值不大”。试想一下，如果这样出题：用3，5，9，4组成的最大的一位小数是什么？一是可以考查学生对小数意义的理解，二是可以考查学生对小数大小的比较方法，一举两得。对学生小数意义的理解的考查，应该是这类习题设计所要考虑的数学本质。这样的习题设计，让学生在应用过程中进一步理解了小数意义，发展了学生的数感，培养了学生“数学的思维”。如例2中所示教学过程，这里出现的“0”，干扰了学生对小数意义这一数学本质的把握，得不偿失。同时也让核心素养的培养成为一句空话。

以上两例关于习题设计的案例说明，教师在数学教学过程中，心中要有《课程标准》理念，心中要有核心素养。将名家教学思想、教学智慧作参考是对的，是应该要坚持的，但是，不论是素质教育、有效教学或基于核心素养背景下的小学数学教学，一定要有一个前提，那就是要立足学生学情，立足数学本质的把握！

（作者单位：广东省深圳市宝安区官田学校）