大学数学教育中数学直觉培养的实践探索

梁雪

【摘要】数学概念和方法往往都有其几何直观的背景，在数学教学中注重数学的几何直观的一面，注重培养学生的数学直觉，有助于他们理解抽象的数学概念、数学思想方法，进而能够活学活用。本文将结合具体案例探讨如何在教学中帮助学生建立数学直觉。

【关键词】几何直观  数学直觉  教学实践

【基金项目】苏州科技大学课程教学综合改革项目（2018KJZG-37）。

【中图分类号】G64  【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）30-0255-02

大学数学相对于中小学数学不仅更加抽象性，其表述方式也有较大的改变，呈现出公理化、系统性描述的面貌。大学数学教师在教学过程中也往往偏重于演绎推理的训练，强调形式论证的严密逻辑性，忽视数学形成过程中生动直观的一面，忽视数学直觉的培养，所以很多大学生在学习数学时感到非常困难，进而产生厌学情况。即使是学得不错的学生也仅仅是能熟练地使用工具、做枯燥规则的奴隶，缺乏真正意义上的理解，无法领略数学的美妙、和谐与统一，这不能不说是一件遗憾的事情。

笔者认为抽象性与直观性并不矛盾，在数学教学中注重数学的几何直观的一面，注重培养学生的数学直觉，有助于他们理解抽象的数学概念、数学思想方法，进而能够活学活用。本文将结合具体案例探讨如何在教学中帮助学生建立数学直觉。

1.“数学直觉的培养”的实践探索过程

1.1什么是数学直觉

数学直觉是运用有关知识组块和形象直观对当前问题进行敏锐的分析、推理，并能迅速发现解决问题的方向或途径的思维形式。它是一种直接反映数学对象结构关系的心智活动形式，是人脑对于数学对象事物的某种直接的领悟或洞察。

1.2数学直觉培养的实践探索的体会

抽象的数学理论的核心常常可以从几何意义的角度得到解释，数学概念和方法往往都有其直观的背景。从几何直观上分析问题的能力，首先是指能够“洞察其直观背景”。数学教育家波利亚曾经说：“一个长的证明常常取决于一个中心思想，而这个思想本身却是直观的和简单的”。因此，从几何直观上分析问题的能力，也包括找出证明中的那个关键的简单而直观的思想，能透过概念的严格定义和实际证明中的推演细节“描绘出证明方法的几何轮廓”[1]。

在培养学生数学直觉的过程中，几何直观起着举足轻重的作用。笔者常常对学生说，判断自己是否理解一个数学概念或者数学定理，关键要看自己是否建立起这个概念的几何直观或者能否把这个定理的直观含义和证明的直观思路弄明白。为了培养学生的数学直觉，笔者经常采取以下做法：

（1）通过提问题让学生自己探索、思考数学概念背后的本质，不满足于书本的文字陈述。

（2）在数学证明的讲授过程中注重对这些证明背后的几何直观进行探究，不满足于书本的逻辑推演。

（3）给学生介绍数学概念在其他领域中的运用，还原数学概念、方法的本来的朴素面貌。

这些做法不仅能有效地调动起学生的求知欲，激发学生的数学学习的兴趣，让学生在学习数学的过程中形成追问事物本质的深入思考问题的习惯，从而帮助学生建立起数学直觉。不过数学直觉是否能建立起来，起决定作用的还是学生是否肯下功夫，教师只能起抛砖引玉的作用。就像一些数学家强调的那样，数学不是看书“看”懂的，不是听课“听”懂的，而是算题中“算”懂的。在扎实的“做题”过程中积累对数学概念、数学定理足够的感性认识，再加上教师的点拨，数学直觉能够慢慢建立起来。

2.实践案例

2.1数学概念的教学举偶

《线性代数》[2]第五章第2节——矩阵的特征值与特征向量这一节的重点是讲清楚特征值、特征向量这一对概念。笔者以这一节为例， 比较在数学概念的教学过程中，注重数学直觉培养的教学与传统教学的差异。传统教学中，一般做法是直接给出特征值、特征向量的严格定义、给出其求法，然后证明特征值、特征向量的性质。这种教学下，学生往往无法真正理解特征值、特征向量，除了为了应付考试暂时记住求特征值、特征向量的方法，很难留下有价值的东西。

相反，如果在教学过程中注重数学直觉的培养，可能为学生打开一扇门，多一个认识世界的途径。笔者在处理这一节时，会提前布置思考题：“方阵的特征值、特征向量为什么冠名‘特征？他们到底刻画方阵的‘特征？”好學的学生会通过阅读教材、查阅网络资源去完成这一问题，虽然很难找到答案，可是这个探索、思考过程是极其有价值的。

正式讲授这一节时，笔者先通过例子来解释矩阵乘以向量的几何意义。矩阵与向量的乘积表现为矩阵对一个向量作用的结果：对一个向量进行旋转和伸缩的综合过程，向量在此作用下变换为另外一个向量。

有了这个几何直观的认识以后再引入特征值、特征向量概念：如果矩阵对某些向量只发生伸缩变换，而不产生旋转效果，那么这些非零向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。按照这个思路，让学生给出一个n阶方阵A的特征值、特征向量的定义，再与课本上的定义对照，并且提出问题“为什么特征向量要排除零向量？”给出提示：从定义中能发现如果一个向量α是A的属于特征值的特征向量，那么kα（k≠0）也是属于特征值的特征向量，这表明特征向量的长度信息是无关紧要的，重要的是特征向量提供的方向信息：矩阵作用在特征向量的方向上的向量只发生伸缩，不发生旋转。而零向量提供不了任何关于‘方向的信息，所以要排除“零向量”。为什么会冠名“特征”呢？特征向量、特征值反映了矩阵作为一种变换的作用特点。最后给学生举一个特征值和特征向量在数据挖掘算法中应用，简要地介绍主成分分析算法（PCA）原理，让学生从实例中直观感受特征值和特征向量。