声波在结构变形时传播的谐波级数研究

徐东喜，赵江英，邵引伟，刘小胜

XU Dong-xi,ZHAO Jiang-ying,SHAO Yin-wei,LIU Xiao-sheng

（格特拉克（江西）传动系统有限公司，南昌 330013）

0 引言

本论文在目前行业内对普通结构分析声波传播的基础上，进一步通过声波在薄板弹性结构中的传播分析其振动规律，波在时间上的谐振变化通常在数学上用指数形式表达。为了更便于作解析的频率分析，本论文把积极的和消极的频率都考虑到了，这样避免了信号在时间和空间发生变化时引起的混淆，从而为设计声音辐射和传播选择最优的方法。

1 声波在结构中传播的力学关系分析

1.1 波在空间传播的主要参数

波在空间的变化用相变化的量表示为ω/cph，这个叫做波数用k表示。一个波长对应于一个和2π的独立相位，即：

k有相互的长度和尺度。

波数k实际上是表示传播方向空间相位的矢量幅值。

式(1)表明了这种频率依赖于波数的关系，这种k和ω之间的关系叫做发散关系，是一种典型的波的特性。发散关系表明在k和ω之间的关系是线性的，任意空间形式的扰动不会改变其传播特性。

我们看到发散曲线在波和结合的媒质相互作用时起着很大的作用，因为两种不同类型波的发散曲线有共同的频率和波数，即有共同的波长和相速度。一个发散曲线也能够告诉我们能量被波传播的速度，这个速度称为群速度cg，它通过下面的关系式从发散曲线中取得：

从式(1)和式(2)可以清楚地知道相位和群速度只有在波不扩散的时候相等，在这里cp独立于ω。群速度的知识在考虑波能量的振动分析中非常有用。

1.2 波在结构中传播时的应力应变分析

在杆、梁和板这些媒质中传播的不同形式的波中，弯曲波在声波结构或流体的相互作用的过程中有着重要的意义。这是因弯曲波在传播方向横向的方向有一个潜在的位移，会有效地干扰相邻的结构。传递波时结构的阻抗将使得在相邻的声波中有着相同的振幅，从而推动能量在两种媒质之间进行交换。

尽管媒质元素中横向位移比平面位移载有弯曲波多，其中的弯曲力主要还是由后者决定的。在杆的纯弯曲变形中，截面向杆轴线相反的方向平移，并相对于其平衡位置作旋转，如图1所示。

图1 梁弯曲变形的位移

横向位移η和转动角度β的关系可以近似地用下式表示：

纯弯曲理论主要的假设是平面截面在元素受到弯曲时候仍然是平的。图2显示了杆中的一个元素在横向力的作用下经受纯弯曲变形：

图2 梁元素的弯曲变形

这里可以注意到θ的值很小。纵向应变εr产生应力σr，假设在r线性地波动。因为在杆轴线方向没有施加力，我们能写成：

这里σ(r)是纵向的应力，该式表明σ(r)须在正负值之间波动。在r的某个值σ(r)的值为0，指定这个的平面为中性平面，用N-S。在变形纵向平面上的变形为0，在这个弧线上元素保持其原来的长度δx，于是得到：

假定ε(r)和δx之间的关系是细杆内的纵波，例如0边界约束：σ(r)=Eε(r)。R的半径曲率和θ相关，从图1可以看出对于与轴线倾斜的的位移为：

通常杆曲线将随着x而变动，σ(r)也是一样。在静态状态中σ(r)在轴向须平衡其他力从而使元素达到纵向的平衡；在杆截面相应的力系统r=r’。其平衡方程为：

通过宽度w(r)和r能够完整地估算出杆特殊变化的综合值。然而对于相同宽度的杆w(r)＝w，r0=h/2。

这种抛物线关系只存在于同一宽度的杆中。然而在所有的情况下，最大的剪切力发生在r’=0的中性平面上。

这种剪切力在梁纵波应力方向轴线的相对振动是很重要的，因为当这种象多片板压制梁粘接失效后，或由于低剪切模量而产生大的剪切变形后，在夹层结构中心板的截面仍然是平面的假设将会失效。水平剪切力τyx与垂直剪切力τxy其相同的幅度，它也在杆内部有如图2所示相同的分布。作用在任何截面上的整个弹性剪切力由下式给出：

合成这个关系式得到：

这里：

I被定义为中性平面内围绕横轴方向面积的次力矩。

环绕中性平面作用在轴向力σ(r)的弯曲力矩由下式给出：

这里正的M产生一个负的曲线。

2 波在结构中传播时的谐波级数分析

当波在弹性结构中传播时，在结构内部的剪切应力自然会在截面产生剪切变形，这可以从等式(9)看出剪切应变必须随着距离r而波动，在偏离中性平面同时在更高或更低的平面上的值为0。这种形式的变形和平面部分仍然是平面的假设不相符合，但是在很多情况下同类杆或梁的剪切变形常常都比较小，所以对杆带来的横向位移也小。一种横向剪切位移贡献值粗略的估算可以从梁取得。简单起见我们假定垂直剪切力等于F/A。顶部梁对剪切的垂直变形近似等于FL/GA，这里G是剪切模量。简单的梁理论造成的弯曲变形为FL3/3EI。于是剪切对弯曲变形的比值将近为3EI/GAL2。对于一根宽W高h的梁来说，I=wh3/12，A=wh。于是其比值约为(1/2)(1+v)(h/l)2，于是剪切变形在横向力分开作用在梁相对厚度小的不同距离时显得很明显。

杆元素横波运动的关系式能够从下式取得：

这里m是单位长度杆的质量。由于x而引起S的改变值由(1.34)和(1.35)能够写成：

这是杆的波动方程，它在剪切给横波带来位移可以忽略的时候是有效的。该式从根本区分了所有以前考虑的空间微分是第四维的波的运动形式，而不是二维的，理由是弯曲波是介于剪切波和纵波的混合，于是自由弯曲波的相速度不能通过观察推论出来。用复杂的指数表达式取代单个谐波级数波得到：

于是k=±j(ω2m/EI)1/4和±(ω2m/EI)1/4，从而得到完全的解为：

这里kb=(ω2m/EI)1/4。

在式(13)的两个等式表示了波以相速度cb=ω/kb=ω1/2(EI/m)1/4在x的正向或负向波的传播。第二个术语表示不传播区域，其数值以指数形式在远处衰减；其相速度是假设的且不传播能量。严格地说它们并称为波。

相速度看为cb和ω成比例，杆中的弯曲波是发散的，其群速度(cb)g=∂ω/∂k=2cb。弯曲波的速度随着频率而变化在结构和液体之间声压耦合现象中有着较深的影响，并在后来变得更明显。弯曲波的发散特性同时也不和谐地产生一个不自然的弯曲振动频率，相对有关不发散波谐振进程。

我们需要估算横向位移的剪切变形以考虑(12)的有效范围，其自由弯曲波长为2π/kb。从而得到最大横向位移和加速度是分离的的观点，在2π/kb距离下位移并不总是为0。依据d’Aembert弯曲波的动力平衡观点，“惯性力”被认为弹性剪切力相反的。最大惯性力作用于最大加速度点，最大剪切力作用于位移为0点。我们于是用2π/kb取代长度l，剪切和弯曲的横向位移的贡献量近似由1/2(2kbh/π)2给出，这里h为杆的深度。可忽略剪切贡献的合适状态是kbh＜1，或者λb＞6h。对于一根正方形的杆来说这种情况变成f＜4.6X10-2(cl”/h)Hz：I形截面其频率接近低40%，而对150mm深的方形梁结构是大约900Hz。

3 结论

在这个特定的频率下一个特殊的剪切特性在运动方程中应该引起重视。剪切变形产生量的物理应用是在很高的频率下高频弯曲波变得象纯横向剪切波，其相速度渐近cs，而不会象cb预示的一样趋向于无穷大剪切波运动在夹层板或蜂窝状板结构的振动情况中有很大的作用，它有被相对厚的里层分开的薄的覆盖层，这些里层设计为有低的剪切刚度。在低频的中频范围内，这里所有部分的弯曲刚度是主要的。而在高频时表面板部分的弯曲刚度是主要的。从这种特性中我们能够为设计声音辐射和传播选择最优的方法,通过改变材料的形状来实现其隔音和放音性能。