关于Hayman 问题的差分模拟的值分布

王鑫鑫, 叶亚盛

(上海理工大学理学院, 上海200093)

1 引言

本文采用常用的Nevanlinna 理论的标准记号和基本结果[1−2]. 特别地, λ 表示为f(z)的级, σ2(f) 表示为f(z)的超级. 本世纪, 随着亚纯函数差分模拟的值分布理论的建立[3−4], 国内外学者做了大量的研究, 得到了很多的研究成果[5−8]. 特别, 值分布论中的一些经典结果也被相应的差分模拟. 通常, 平移差分∆cf(z)=f(z+c)−f(z) 被看作是的差分对应,f(z)n∆cf(z) 和f(z)n+a∆cf(z)被看作是微分多项式和f(z)n+a的差分对应. 1959 年, Hayman[9]证明了如下的两个定理.

定理A设f(z) 为超越亚纯函数, n 为正整数, b 为非零有穷复数, 则n ≥3 时,有无穷多个零点.

定理B设f(z) 为超越亚纯函数, n 为正整数, a(0) 和b 为两个有穷复数, 则n ≥5时,+af(z)n−b 有无穷多个零点.

后来, Ye 和Fang 等人[10−11]将定理B 中的f 和交换位置, 得到了下面的定理C.

定理C设f(z) 为超越亚纯函数, n 为正整数, a(0) 和b 为两个有穷复数, 则n ≥2时, f(z)+a−b 有无穷多个零点.

2011 年, Liu[12]等人对定理A 中的f(z)n进行差分模拟, 得到了下面的定理D.

定理D设f(z) 为有限级超越亚纯函数, c 为非零复常数, n 为正整数, α(z) 为f(z) 的小函数, 则n ≥6 时, f(z)nf(z+c)−α(z) 有无穷多个零点.

2014 年, Li[13]等人得到了更为细致的定理E.

定理E设f(z) 为有限级超越亚纯函数, c 为非零复常数, n 为正整数, 多项式p(z)则

本文主要研究了下面的问题.

(i) 若将定理E 中的f(z+c) 改为f(z) 的差分多项式, 可以得到怎样的结论？

注1.1 亚纯函数f(z) 的差分多项式H(z,f) 定义如下

其中λ 为指标集,包含m(≥1)个不同的i,ci,j为复常数,µi,j为非负整数,系数为f(z)的小函数,对H(z,f)的每一个单项式定义其次数为再将H(z,f) 所有单项式的最高次数定义为H(z,f) 的次数, 即

对于问题(i), 首先在一般差分多项式的情况下, 证明了定理1.1.

定理1.1设f(z) 为超越亚纯函数, σ2(f)<1, c 为非零复常数, n 为正整数,为f(z) 的小函数, H(z,f) 是形如(1.1) 式的差分多项式, 则

其次, 对比定理E, 下述推论1.1 显著改进了其结果.

推论1.1设f(z) 为超越亚纯函数, σ2(f)<1, c 为非零复常数, n 为正整数,为f(z) 的小函数, 则

其中r →∞, r /∈E, E 为一个有限测度集.

推论1.2设f(z) 为超越亚纯函数, σ2(f)<1, c 为非零复常数, n 为正整数,为f(z) 的小函数, 则n ≥4 时, f(z)nf(z+c)−α(z) 有无穷多个零点.

上述推论1.2 将定理D 的条件n ≥6 改进为n ≥4. 例1.1 说明该结论最佳, 不能再改进.

例1.1f(z)=c=πi, 则当n= 2、3 时,

定理1.2设f(z) 为超越亚纯函数, σ2(f) < 1, 且满足N(r,f) = S(r,f), c 为非零复常数, n 为正整数,为f(z) 的小函数, H(z,f) 是形如(1.1) 式的差分多项式, 且H(z,f) 中仅有一个单项式具有最高次数, 则

例1.2H(z,f)=f(z)f(z+πi), 则

上例说明定理1.2 的条件N(r,f)=S(r,f) 不可缺.

推论1.3设f(z) 为超越整函数, 则n ≥3 时, f(z)+af(z+c)n−α(z) 有无穷多个零点.

例1.3

上例说明推论1.3 结论最佳, 不能再改进.

定理1.3设f(z) 为超越亚纯函数, σ2(f)<1, c 为非零复常数, n 为正整数,为f(z) 的小函数, 若f(z) 满足

则n ≥5 时, f(z)+a(f(z+c)−f(z))n−α(z) 有无穷多个零点.

例1.4f(z)=ez+p(z), p(z) 为多项式, c=2πi, α(z)=p(z)+(p(z+c)−p(z))n, 则

上例1.4 说明定理1.3 若要成立, 需对f(z+c)−f(z) 附加一些条件.

定理1.4设f(z) 为超越亚纯函数, σ2(f)<1, c 为非零复常数, n 为正整数,为f(z) 的小函数, 则

推论1.4设f(z) 为超越亚纯函数, σ2(f)<1, c 为非零复常数, n 为正整数,为f(z) 的小函数, 则n ≥5 时, f(z)+af(z+c)n−α(z) 有无穷多个零点.

2 引理

引理2.1[7]设f(z) 为非常数亚纯函数, σ2(f)<1, c 为非零复常数, 对任意的ε>0, 有

其中r →∞, r /∈E, E 为一个有限测度集.

由文献[7, 引理8.3], [14, p. 66] 及[15, 引理1], 得到下面的引理2.2.

引理2.2设f(z) 为非常数亚纯函数, σ2(f)<1, c 为非零复常数, 则

引理2.3[16]设f(z) 为有限级亚纯函数, 满足N(r,f) = S(r,f), H(z,f) 是形如(1.1)式的差分多项式, 且H(z,f) 中仅有一个单项式具有最高次数dH, 则

由文献[16, 定理1] 和[17, 引理2], 得到下面的引理.

引理2.4设f(z) 为超越亚纯函数, σ2(f)<1, H(z,f) 是形如(1.1) 式的差分多项式, 则

3 定理1.1–1.4 的证明

定理1.1的证明 记

则

由(3.1) 式可知F +α(z)=fnH(z,f), 则有

再由关于三个小函数的第二基本定理及(3.5)–(3.6) 式, 可知

又由引理2.4 可知

从而将(3.7)–(3.8) 式代入(3.4) 式可得

其中r →∞, r /∈E, E 为一个有限测度集.

定理1.2 的证明记则

由N(r,f)=S(r,f), 可知N(r,H)=S(r,f). 所以

再由关于三个小函数的第二基本定理及(3.12)–(3.14) 式可知

又由引理2.3 可知

从而将(3.15)–(3.16) 式代入(3.11) 式可得

定理1.3 的证明记则

再由关于三个小函数的第二基本定理及(3.20)–(3.22) 式可知

从而将(3.22)–(3.23) 式代入(3.19) 式, 可得

其中r →∞, r /∈E, E 为一个有限测度集.

所以n ≥5 时, f(z)+a(f(z+c)−f(z))n−α(z) 有无穷多个零点.

定理1.4 的证明记则

由(3.24)–(3.25) 式, 可得

由引理2.2, 可知

所以

再由关于三个小函数的第二基本定理及(3.29)–(3.30) 式, 可知

又由引理2.2 可知

从而将(3.31)–(3.32) 式代入(3.26) 式可得

即