试论数形结合思想在函数解题技巧中运用的价值

廖琼

摘 要 数与形是数学知识的两个基本范畴，在中学数学中，数与形是最基本的两个对象，它们构成了中学数学知识内容的两个基础板块。把数与形有机地结合起来，可以把数与形这两大数学知识板块联接在一起，形成更为有效的知识体系，并使数与形在更高层次上达到统一，进而显示数学知识内在的关联。本文笔者结合自己的教学实践，就数形结合在解决函数中的技巧提出了几点具体的探究策略。

关键词 数形结合;初中数学;函数问题;解题技巧;有效策略

中图分类号：A，O175.9 文献标识码：A       文章编号：1002-7661（2019）10-0192-01

“数形结合”是初中数学中的一种重要的思想方法，“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。数是数量关系的体现，形是空间形式的体现，两者是对立统一的，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究;而在研究图形时，又常借助于图形间隐含的数量关系去求解。即將数与形灵活地转换，运用彼此间的相互联系和作用，去有效地探求问题的解答，使得整个教学过程更加直观、更有效。

一、数形结合思想与函数结合运用的必要性

初中数学函数的教学不仅体现的是教师对于知识点的数形转化能力，同时也是为学生提供接受这些知识储备。授课教师将数形结合作为教学中的一条主线，将这种思想在数学实践中应用得更加广泛，以将抽象的函数数学概念与复杂的数量关系描述得更加形象化和具体化，将函数中的定量分析转化为数形。并且将数与形的结合在函数间进行灵活的转换，在扩展学生数学解题思路的同时，也使得教师能够不断地更新自己的教学思维。有时候这样的变化关系，能够使得我们找到一些解决函数计算问题的新技巧，及时发现计算过程中所遗漏的条件。而学生，则可以巧妙运用这种数形结合分析的能力，进行熟练运用。例如，在一次函数学习中，要让学生的思想中时刻想着坐标联系与构造联系。而这种坐标的联系是通过建立相应的比较适合方程的坐标系达到函数方程式与图形的转化。比如，当涉及y=3x+5或y=x，这样的形式就是y=kx+b的演变，当b=0时就形成了第二个方程式，也就是过原点的直线。通过这样的直接联想，使用恰当的图像直线联想与绘图，从而达到数形的互相转化。

二、数形结合在函数解题技巧中运用的具体路径

1.通过数形转化，提升解题技巧。解题过程就是不断地将未知转化为已知的过程，在思维中构造出一种相关的数学对象，一种新的数学形式。“函数及其图象”是初中数学的一个重要内容，同时也是一个难点内容，有关函数的问题让许多学生感到畏惧。其实函数与方程、不等式之间有着非常密切的联系，在解题时要善于将它们“牵手”，将它们的“形”与对应的“数”结合起来，往往会使很多棘手问题迎刃而解，且解法简捷、独特。

例1：已知方程x2–2px+10=0有一个根大于1，另一个根小于1，求p的取值范围。

分析：由二次函数与一元二次方程的关系知：方程x2–2px+10=0的两个根是抛物线y=x2–2px+10与x轴的两个交点的横坐标，因为一根大于1，另一根小于1，所以抛物线与x轴的两个交点一个在1的左边，另一个在1的右边，且开口向上，如图可知当x=1时，函数值y<0，即12-2p+10<0，故p>5.5。

此解法利用函数图象的直观性，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，化难为易，充分体现了数形结合解题的有效性。综上来看，该例子是有关函数与不等式、方程的问题，解这类题时要善于将问题中的数与形结合起来进行思考，将抽象思维与形象思维融合在一起，通过“以形助数”“以数解形”的思想策略，揭示出隐含在其内部的几何背景，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体、直观化，从而有效地找到解题途径，同时也能开阔和发展学生的思维。

2.通过数形沟通，培养学生的联想能力。丰富的联想是创造性思维的一个基本特点，其基本特征是由当前面临的事物回想起相关事物并做出判断。教学时，学生的创造性思维除了源于现实经验之外，更重要的是需要丰富的数学经验。而数学经验又是在教学中不断进行积累的结果。教学中要重视学生从数学知识中提炼本质的规律，在学生头脑中形成由定义、定理、公式网络化构成的数学知识板块，一旦学生悟透知识的来龙去脉，建立数与形的有效沟通，就具有把数形知识交互联想的能力，进而使数学思维形成网状结构。

例2：求方程 =–x2–3x的解的个数。

分析：根据题意很容易把这道题用解分式方程的方式来解决，而实际上对于初中学生来说，这样的方法是比较麻烦的，实际上这道题可以利用函数的性质和特点来解决，如果y1= ，y2=–x2–3x，当y1=y2时，方程的解就成了这两个函数的交点，通过画图，很快就可以找出解只有1个。所以创造性思维不是仅凭机遇，只有学生在具有相当的基础和达到一定熟练程度的情况下，才能分析和辨认组成问题的知识组块，才会有跳跃性的创造性思维。

3.借助数形转换，培养学生的数学直感。

三、结语

综上所述，数形结合具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。它不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，它们互相渗透，相互转化，使得以代数法研究函数问题，以函数研究代数成为可能，从而有效培养学生的基本解题素质。

参考文献：

[1]闫玉叶.谈初中“数形结合”思想在函数中的运用策略[J].数理化解题研究（初中版），2012（11）：24-25.