Heisenberg李代数自同构群的结构

张 彦，任 斌

（苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州 215009）

在李代数中，自同构是其结构理论研究的重要部分，它反映了该代数结构的对称性。研究者们对此做了大量的研究工作[1-16]。Heisenberg 李代数在李代数中占有非常重要的地位，2007 年张海山等对Heisenberg 李代数的自同构进行了研究，在文献[9]中作者针对Heisenberg 李代数的两种定义形式，分别讨论了在定义1形式下的自同构的充要条件，在定义2 形式下自同构群的结构。但对定义1 形式的自同构群的结构作者没有做进一步探讨。在文献[14]中作者对定义2 形式的Heisenberg 李代数（及Heisenberg 李超代数）的自同构群进行了探讨，得到了自同构群的若干子群。笔者对定义1 形式的Heisenberg 李代数的自同构群的结构做了进一步的研究，利用充要条件的结论，刻画了5 维Heisenberg 李代数自同构群的分解结构。由于7 维及以上的Heisenberg 李代数自同构群的分解结构更加复杂，还有待于研究者做进一步探讨。

文中所讨论的都是复数域上的Heisenberg 李代数。

1 基本概念和性质

定义1[16]设N 是域F 上的李代数。若φ 为李代数N 到自身的可逆线性变换，又满足

则称φ 为N 的自同构。N 的所有自同构构成一个群，称为N 的自同构群，记作Aut（N）。

定义 2[9]设 N 是以 e1，e2，…，en，en+1，en+2，…，e2n；c 为基底的复向量空间，在 N 中定义李运算[ei，en+k]=δikc，其他基底元素的李运算为0，线性扩充后，则N 关于所定义运算作成一个李代数，称为Heisenberg 李代数。

引理1[6]若N 是一个幂零李代数，则下面两个命题等价：

（1）{x1，x2，…，xn}是 N 的一个极小生成元系；

（2）{x1+N2，x2+N2，…，xn+N2}是向量空间 N/N2的一个基，这里 N2=[N，N]。

引理2[8]设x1，x2，…，xn为二步幂零李代数N 的一组基，φ 是N 上的一个可逆线性变换，则φ 是自同构当且仅当 φ[xj，xk]=[φ（xj），φ（xk）]，1≤j，k≤n。

2 自同构的充要条件

设 N 是一个 Heisenberg 李代数，e1，e2，…，e2n；c 是 N 的一组基，且 c 是 N2的基。由[ei，ej]=Eijc，1≤i，j≤2n，有

这里 I2n表示 2n 级单位矩阵。记 E=（Eij）2n×2n，显然

设 φ 是 N 上的一个线性变换，则有 φ（e1，e2，…，e2n；c）=（e1，e2，…，e2n；c）W（2n+1）×（2n+1）。

定理1N 的一个线性变换φ 是自同构当且仅当矩阵W 满足以下条件：

证明（必要性）由于 c=[e1，en+1]，所以 φ（c）∈N2。从而于是有|A2n×2n|×k≠0。

因为φ 是N 的一个自同构，所以有

又因为[ei，ej]=Eijc，因而

于是有ATEA=kE。

（充分性）显然 φ 可逆。由必要性的证明过程易证（1）式成立，即 φ[ei，ej]=[φ（ei），φ（ej）]，∀ei，ej∈N。又显然有 φ[ei，c]=[φ（ei），φ（c）]，∀ei∈N，c∈N2。故由引理 2 知 φ 是 N 的一个自同构。

3 自同构群的结构

下面利用上述充要条件来研究5 维Heisenberg 李代数自同构群的分解结构。

设φ 是5 维Heisenberg 李代数N 上的一个自同构，有

这里 Ai表示 2 级矩阵，Bi表示 1 行 2 列矩阵。

定理 2Aut（N）＝GAGI，|GA∩GI|=1，其中且 GI，GA是 Aut(N)的子群。

证明由定理 1 易知 GA是 Aut（N）的子群。显然 GI⊆Aut（N），∀α1，α2∈GI，有

所以 α1α2∈GI。易知 α1α2＝α2α1。

为了讨论GA的结构，需要下面的引理。

首先，由于ATEA=kE，即有下列等式

引理3设则 G3，G4是 Aut（N）的交换子群。

证明由于

根据定理 1 知 G3⊆Aut（N）。∀β1，β2∈G3，有

所以 β1β2∈G3，易知 β1β2=β2β1。

引理4设

则 G2，G5是 Aut（N）的子群。

证明显然 G2是 Aut（N）的交换子群。由于

根据定理 1 知 G5⊆Aut（N）。∀η1，η2∈G5，有

所以 η1η2∈G5。

定理 3GA=G5G4G2G3G4G5G2。

证明

情形 1|A1|≠0

注意到

于是可知，对任意满足情形 1 条件的 φ∈GA，存在 φ3∈G3，φ4∈G4，φ5∈G5，使得 φ4φ3φ=φ5，从而 φ∈G3G4G5。

情形 2若 |A1|=0，A2，A3，A4中有一个是可逆的。

此时可通过初等变换归结到情形 1。当|A3|≠0 （|A2|≠0 类似可证），由于

对任意满足情形 2 条件的 φ∈GA，且|A3|≠0，存在 φ2∈G2，使得 φ2φ∈G3G4G5，从而 φ∈G2G3G4G5。

当|A4|≠0，由于

对任意满足情形 2 条件的 φ∈GA，且|A4|≠0，存在 φ2∈G2，使得 φ2φφ2∈G3G4G5，从而 φ∈G2G3G4G5G2。

情形 3A1，A2，A3，A4均不可逆。

易知 Ai≠0，i=1，2，3，4。由 A1的秩为 1 知存在可逆矩阵 P1和 T1，使从而有

由于 B3的秩为 1，可设从而有

综上可得GA=G5G4G2G3G4G5G2。