庞卡莱圆盘模型中双曲三角形周长与面积的关系

魏大承

【摘要】主要讨论了Poincare圆盘模型中面积一定的双曲三角形周长的变化情况。先通过推导庞卡莱圆盘模型与欧氏几何的对应关系，求出了面积一定时双曲三角形顶点运动的轨迹;再利用庞卡莱圆盘模型的自身基本性质计算出面积一定时双曲三角形周长变化的单调性从而求出了周长的最值。

【关键词】庞卡莱圆盘模型 双曲三角形

一、引言

1826年Lobachevsky在承认欧几里得所著的《几何原本》中其他的公设的基础之上，将其中的第五公设更改为“平面内过直线外一点恒可做无数条直线与已知直线不相交”。

但是，因为缺乏直观的几何描述，双曲几何在一开始提出的时候并不能被当时的数学界所广泛的接受，甚至就连罗巴切夫斯基自己都把它称之为“没有实际意义的虚几何”。然而，几十年之后，法国数学家庞卡莱在罗巴切夫斯基假定的第五公设的基础之上，提出了庞卡莱圆盘模型，将双曲几何与欧氏几何很巧妙地建立起了联系。自此之后，越来越多的数学工作者们投身于双曲几何的研究当中，使得这一体系日趋完善。

本文所引用的《双曲几何》一书是由李忠老师等人所编写，介绍有关双曲几何研究的科普类小册子。本文当中所涉及的定义与性质以及第三章中所用到的相关公式均出自此书，有需要的读者请参见参考文献[1]当中的前两个章节。

在第一章中会简单介绍引文中所提到的庞卡莱圆盘模型的定义及有关的基本定理。

二、基本定义与性质

三、双曲三角形顶点轨迹的研究

四、双曲三角形面积一定时周长的变化

五、总结

通过本文的讨论可知庞卡莱圆盘模型中双曲三角形周长与面积之间的关系与欧氏平面上三角形二者之间的关系有着极高的相似性。对于这一问题未来的研究与讨论方向，将把周长与面积的关系由双曲三角形推广到双曲多边形，进而尝试研究庞卡莱圆盘模型上的等周问题。

参考文献：

[1]李忠，周建莹.双曲几何[M].湖南教育出版社，1991.

[2]LEON Karp and Norbert Peyerimhoff.Extremal properties of the principle Dirichlet eigenvalue for regular polygons in the hyperbolic plane[J].Archiv der Mathematik，2002.

[3]傅紅燕，俞礼海.“将军饮马”问题的拓展及妙用[J].中小学数学，2016，（04）：26.

[4]韦静华.对称点与几何[J].安徽教育学院学报，1996，（01）：18.

[5]雷达.球面几何与平面双曲几何中三角形面积的一些外在公式[D].苏州大学报，2015.