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欧氏环中两元的最大公因式及其性质

2010-05-26阿布都瓦克玉奴司张四保

关键词:公因式师专欧氏

阿布都瓦克·玉奴司,张四保

(喀什师范学院 数学系,新疆 喀什 844007)

1 基本定义与引理

定义1[1]一个整环I叫做欧氏环,假如l:

(1)从I*到非负整数集合N的映射Φ存在;

(2)∀b∈I,都有q,r∈I,使得b=aq+r,其中r=0 或 Φ(r)< Φ(a)(叫做带余除法[2]).

引理1 设I是一个欧氏环,如果∃a∈I*,使得Φ(a)=0,那么a整除I的每一个元.

证明 因为∃a∈I*,使得 Φ(a)=0.取b∈I,若b=0;则a|b;若b≠0,则由定义 1 可知,∃q,r∈I,使得b=aq+r,其中r=0或Φ(r)<Φ(a)⇒r=0;否则Φ(r)<Φ(a)=0⇒Φ(r)<0,这是一个矛盾,从而r=0,于是a整除I的任意一个元.

推论1[3]若I是一个欧氏环,并且a是使 Φ(a)=0的I*的一元,那么I={aq|q∈I}.

推论2 若I是一个欧氏环,并且a是使Φ(a)=0的I*的一元,那么a是I的可逆元(单位).

证明 由推论1知I={aq|q∈I}.因为1∈I,所以∃q∈I使得aq=1,即a是可逆的.

引理 2[4]设I是欧氏环,如果I中有b=aq+r,那么(a,b)=(a,r).

证明 设a与b的一个最大公因式为d,记为(a,b)~d.因为d|a,b⇒d|b-aq=r,所以d|a,r;另一方面,对∀c|a,r⇒c|aq+r=b,即c|a,b,因为d是a与b的一个最大公因式,所以c|d,这样d也是(a,r)的一个值,即(a,r)~d,从而(a,b)=(a,r).

2 主要结论

定理1 设I是一个欧氏环,那么对∀a,b∈I来说,存在a与b的最大公因式(a,b),并且∃u,v∈I,使得au+bv~(a,b).

证明 若a,b∈I有一个为0,不妨假定b=0,那么a是a与b的一个最大公因式,即(a,b)~a.若a,b∈I都不为0,由欧氏环的定义知,∃q1,r1∈I,使得a=bq1+r1,则有下列诸等式:

这个过程称之为辗转相除法.在此过程中一定存在rs=0,否则任何rs≠0,这时得到以下不等式链:Φ(b)>Φ(r1)>Φ(r2)>…>Φ(rs)>…,其中Φ(b)是一个有限正整数,有∃rn∈I使得 Φ(rn)=0,由引理1得知rn整除I的每一元,所以rn|rn-1,从而rn+1=0,与任何rs≠0矛盾.于是辗转相除法过程中有一等式rs-2=rs-1qs+rs中rs=0,有(rs-2,rs-1)=(rs-1,rs)~rs-1.再由引理 2 ,(rs-2,rs-1)=(rs-3,rs-2)= … =(r2,r1)=(a,b),有(a,b)~rs-1,即rs-1是a与b的一个最大公因式,这样就证明了在欧氏环中最大公因式的存在性.

即最后可以消去所有rs,所以(a,b)~rs-1=au+bv.

推论 3a,b是欧氏环I的两元,那么(a,b)~1⇔∃u,v∈I使得au+bv~1.

证明 充分性可由定理1直接得出.

必要性:设∃u,v∈I使得au+bv~1.因为对∀c|a,b⇒c|au+bv,即c|ε(ε∈UI),所以(a,b)~1.

定理 2 若欧氏环I中(a,b)~1,则对∀c∈I,都有(a,bc)=(a,c).

证明 因为(a,b)~1,所以 1是a,b的最大公因式.所以∃u,v∈I,使得au+bv=1,对∀c∈I都有,由此可知a,bc与a,c相同公因式,从而(a,bc)=(a,c).

推论 4 在欧氏环I中若(a,b)~1,则(an,bm)~1,∀n,m∈N*.

推论 5 欧氏环中若(ai,bj)~1(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m),那么(a1a2…an,b1b2…bm)~1.

证明 由定理 2 得(ai,b1b2…bm)=(ai,b2b3…bm)= … =(ai,bm)~1,即(ai,b1b2…bm)~1(*)(i=1,2,…,n).同样可得(a1a2…an,b1b2…bm)=(b1b2…bm,a1a2…an)(b1b2…bm,a2a3…an)= … =(b1b2…bm,an)~1.

总之,一个欧氏环中既可以明确地看到最大公因式的存在性,又可以给出具体求法,另外欧氏环中讨论问题比较方便,其很有实用性的特殊主理想环,又是一个唯一分解环.

[1]张和瑞.近世代数基础(修订本)[M].高等教育出版社,1978

[2]吴品三.近世代数[M].北京:高等教育出版社,1979

[3]阵立中.欧氏环定义引发的一例错误[J].台州师专学报,1998,20(6):72-74

[4]王丹华,杨海文,刘咏梅.初等数论[M].北京:北京航空航天大学出版社,2008

[5]李冰.关于欧氏环定义中单位元的讨论[J].唐山师专学报,1993,21(2):6-8

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