一道二元函数求最值数学题的多角度思考

骆星宇

摘 要 二元或者多元函数求最值问题一直是浙江省数学高考的常考内容，本文从高三复习讲义中一个典型的二元函数求最值问题出发，通过五种不同的解题方法，从不同角度构造不等式来探讨二元函数求最值的解题策略，以帮助提高解题速度和准确度。

关键词 不等式;最值;基本不等式;转化

中图分类号：O122.3，O629.11+3 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2019）16-0202-01

最值问题，也可称为值域问题和取值范围问题，它是高中数学中的常见问题，也是高中数学的重难点，它知识面广，内容丰富，解题方法灵活多变，是考查学生综合能力的良好素材，本文就高三复习讲义中一个典型的二元函数求最值的问题探讨若干解题方法及思路，希望对读者能够有所借鉴和帮助。

例题：已知，，求的最小值。

解法1：（基本不等式）因为，即（当且仅当时等号成立），化简得，可解得或;又因为，因此，（当且仅当时等号成立），故的最小值是32。评注：利用基本不等式来解题时，应特别注意条件需要满足“一正二定三相等”，利用整体换元思想，借助基本不等式来构造一个一元二次不等式，将问题转化成求解该一元二次不等式即可，整個解题过程思路简洁明了，计算量也很小。

解法2：（“1”的代换）因为，两边同时除以可得，又因为，而，所以原式 ，因此，的最小值32。

评注：该方法的原始题型是已知，求的最小值。本例题从条件上看表面上好像不能使用基本不等式，但是细心观察就能从条件中发现端倪，对于此类的式子我们习惯上两边同除，从而得到，将两个式子相乘，展开就可发现一个分母是，另一个分母是，两个数之积是定值”，结合“和定积最大，积定和最小”，利用基本不等式即可求出最值。

其实，对于此类式子，即使不是“1”是其他数值也可进行类似处理，只不过需要多乘一个系数在式子前面。该方法可解决方法一中前后式子系数不一致的求范围问题，该方法的解题思路也相对比较简单，就是对“1”的代换，来解决已知整式求分式范围，或者已知分式求整式范围问题。

解法3：（因式分解）由可得，即，合并同类项可得，即，（结合问题是求的取值范围）两边同时乘8可得，而，即且，解得，故的最小值是32。

评注：该方法本质还是利用基本不等式来求解的取值范围，只不过在此之前需要将原式分解成的形式，然后利用基本不等式即可求解。

方法有一定的技巧性，有点凑配的感觉，只需根据求解问题，求什么式子凑配出什么式子即可，当然，如果有常数，需要将常数放在等号的另一侧。

解法4：（判别式法）令，则，代入原式可化为，整理得，这是关于的一元二次方程且存在实数根，只需满足即可，因为且，，所以，即，故的最小值是32。

评注：如果能够把原来求二元函数最值问题转化为一元二次方程有无实根的问题，我们常可以考虑用判别式法来求得函数的最值。即利用化归思想，利用换元思想将二元函数转化为一元二次方程，变成该方程有无实根的问题，利用根的分布原理，结合函数图像从而达到解决问题的目的。

当然本例题的解法还有单调性法、导数法等常见求函数最值的方法，但运算量大，本文限于篇幅，不再展开。

最值问题是浙江省高考的常考题型，是高中数学学习中的重点难点，也是考查学生数学思维能力的重要载体。因此我们有必要认真总结和归纳求函数最值的几种方法，以便我们更好的理解和掌握，来提高我们分析问题和解决问题的思维能力。

参考文献：

[1]方积粮.对一道高中数学最值问题的探讨[J].数学教育研究，201（1）.