立体几何动态问题从空间到平面的转化策略

林良斌

【摘要】高中立体几何是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要载体，在高考试卷中，以立体几何为载体的试题，一般有两种形态，一个是静态的，通过静止几何体的一些点线面的关系通过推理得到另一些点线面间的关系，这种题目相对比较固定，学生们通过训练就能基本得到分数;另一类就是动态的，在原来固定几何体的线、面上加入了若干动点或动直线，让静止的东西运动起来，这样的考题更加灵活，更富变通性，对学生来说，解决这类问题对其空间想象能力、逻辑推理能力的要求更高，这类问题往往把立几知识和其他部分的知识有机地结合起来，难度一般比较大，解决问题的关键就是转化与化归，把空间问题转化为平面问题的降维处理，经过这样处理以后，这个问题就变成平面问题，再按照平面问题的方法来解决.本文将从降维的角度来剖析这类问题转化策略.

【关键词】立体几何;动态问题;转化策略

一、引 言

新课标高考题对立体几何的考查有关直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及其度量的问题，在学习过程中培养和发展考生的数学抽象，逻辑推理、直观想象能力和运算求解素养，体会数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量，提高数学素养.

二、立体几何动态问题从空间到平面的转化分析

空间直观想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力.要在立体几何学习中形成.纵观近几年全国及各省高考试题，对立体几何中的动态问题的考查逐年加重，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答.从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼.分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.

（一）通过作点到面的垂线把点面距离转化为点线距离

例1 空间点到平面的距离如下定义：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离.平面α，β，γ两两互相垂直，点A∈α，点A到β，γ的距离都是3，点P是α上的动点，满足P到β的距离是到P到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到γ的距离的最小值.

很多学生看到这道题目时，都被这个复杂的题目吓到，都不知道该如何下手，于是笔者指导他们先把图画出来，等他们把图画出来以后，一些人就会从A往直线a，b引垂线，进而发现点A到β，γ的距离就是A到a，b的距离，如果还有没发现的人，笔者就指导他们做垂线，进而让他们证明与发现，这个过程从表面上来看是很自然的过程，但对一些空间想象能力较差的学生来说就比较困难，这就需要教他们怎么把问题进行转化与化归处理.

评析 本题中把空间中另一个平面β内的两条线段的长度比，通过三角形的相似比把空间中的两条直线的长度之比映射转移到平面α内的两条线段的比，进而通过平面几何的方法来解决问题.

三、拓展思考

在这类立体几何问题中，三维空间点线面与二维平面的点线本质上就是映射关系，例如，投影变化，一个几何体在一个平面上的投影，點投成点，线可以投成点，也可以投成线，面可以投成线也可以投成面，不同的映射关系把空间三维中的点面关系映射为二维平面的点线关系，但通过这样的映射关系，点线面之间保留了原来相对有规律的位置关系，比如，求异面直线夹角时，我们经常通过平移变换把原本异面的直线移动到同一个平面内，这个过程中就保持了线线夹角的不变，再通过余弦定理就可以轻松求出异面直线的夹角.

把空间三维问题转变成平面二维问题的降维处理，一般需要三个步骤，一就是搞清楚立体图形间的线线，线面，面面之间的位置关系;二就是把三维中的几何元素间的关系通过一定的映射关系对应到一个平面内几何元素间的关系，三就是利用平面几何等相关的知识解决问题.这个过程中实现了由未知到已知，由陌生到熟悉的转变，大大提高学生的解题兴趣和效率.

【参考文献】

[1]王光明.高效数学教学行为的归因[J].数学教育学报，2010（5）：75-79.

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[3]万文婷，叶俊杰.高三数学复习高效教学案例分析[J].数学教育学报，2011（4）：65-67.