在聚焦本质的活动中感悟模型思想

赵斌

摘要：模型思想是重要的数学思想之一。由于小学生数学思维特征的局限，学生很难有机会经历严格意义的、完整的建模活动，但教师在教学中聚焦知识本质设计活动，引导学生在活动中感悟模型思想，有助于学生理性精神的形成和可持续发展。一元一次方程的核心在于内在的“等价关系”模型，在这一内容教学中借助有效直观、给予建模“拐杖”，引发认知冲突、跨越建模障碍，遴选结构性素材、引导感悟模型结构，有助于学生感悟模型思想，提升数学素养。

关键词：模型思想;等价关系;直观;结构性素材;小学数学教学

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2019）07B-0112-04

所谓模型思想，是指能够有意识地用数学的概念、原理和方法，理解、描述以及解决现实世界中的一类问题的那种思想[1]。对模型思想的感悟是建立在较高基础之上的：知识基础是对数学内容的把握，思维基础是抽象和推理。小学生的数学思维处于由具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡期，一般到四、五年级才进入初步的本质抽象概括阶段，开始向初步代数运算阶段发展，尚难进行完整的、严格意义的数学建模活动，因此，严格意义上的数学建模及教学研究在大学开展较多。但教师在小学数学教学中有意识地渗透模型思想，引导学生经历、体验，有助于學生在数学学习中初步经历建构数学模型的过程，留下模型思想的影子，深化对数学的理解，形成初步的理性精神。

在苏教版数学五年级下册第一单元，学生第一次认识简易方程（一元一次方程），那么这一内容中蕴涵的核心思想是什么？其教学价值又是什么？东北师范大学史宁中教授认为：一元一次方程比较全面地展示了建模思想——用等号将相互等价的两件事情联立，等号的左右两边等价。这就是数学建模的本质表现之一[2]。可见，认识方程的核心在于认识其中内在的“等价关系”模型。在这一内容的教学中有效渗透模型思想，有助于学生对模型思想的感悟，提升学生用数学的语言讲述现实世界故事的能力，为后续代数知识学习和建模能力的发展奠定基础。

下面笔者以苏教版数学五年级下册“认识方程”第一课时为例，谈谈对引导学生感悟模型思想的实践与思考。

一、借助有效直观，给予建模“拐杖”

数学概念的形成和数学模型的建构都需要抽象。基于小学生数学思维特征，这一年龄段学生的学习更多需要借助直观作为实现抽象的“拐杖”。而这一“拐杖”的选用，必须符合两方面特点：一是能激活学生已有的生活经验或知识经验，有利于学生观察和思考;二是这一直观必须是数学模型的直观载体，且越简洁越有利于学生开展学习。

方程的核心是“等价关系”，这也是方程模型的核心。笔者认为最能直观表现出“等价关系”的就是天平，它既能激活学生已有生活经验，又能直观、简洁地表征“等价关系”。

师：同学们知道今天我们学习什么内容吗？

生齐答：方程。

师：学习方程离不开一件工具（出示天平图片）。认识它吗？说说你对它的了解。

生1：这是天平，当天平两边放的东西一样重的时候，天平就会是平的。

师：是的，当这种时候，我们就说天平两边处于平衡状态。

生2：当天平左边放的东西重的时候，天平会向左边倾斜;而当天平右边放的东西重的时候，天平会向右边倾斜。

师：那这两种情况，我们可以说天平——

生齐答：不平衡。

师：老师就带来一架天平，请大家仔细观察。

（出示图1）

师：你能用一道数学式子表示出这架天平现在的状态吗？

生1：50+50=100

师：天平左边表示为50+50，右边表示为100，这时天平平衡，中间可以用“=”连接。（板书先写“50+50”，再写“100”，最后写“=”）

天平直观的呈现，激活了学生的已有经验，学生能通过天平的状态用数学语言建构等式以及之后的不等式，搭建起数学与生活间的桥梁。同时通过教师过程性的板书示范，学生初步感受到等式建构的方法：客观阐述事实本身。这也让学生真正认识到等号的本质意义：表示两边的等价关系。

而之后的借助直观部分的教学，教师也基本以天平为工具，引导学生通过观察天平，用符号语言表达天平的平衡与不平衡状态，进而认识等式和不等式。

二、引发认知冲突，跨越建模障碍

在建模的过程中，教师有时可以借助学生已有经验。但有时学生已有的一些经验却成为学习过程中的障碍。如对于方程定义中两个关键要素（“未知数”和“=”），学生的已有经验就对建构方程产生了明显阻碍。学生在前面四年多的数学学习中都是采用四则运算方式解题，已经形成这样的思维和书写习惯：将未知放在等号右边，将已知放在等号左边，通过四则运算推算出未知的结果。所以方程模型的建构必须引导学生实现两方面的跨越：一是未知与已知由不平等到平等的跨越，二是“=”这一符号由学生感觉中的推算意义向真正的等价意义的跨越。这两点直接决定了学生对方程模型的感悟水平和建构水平。因此，有效引导学生建构方程模型，首先要引发学生认知冲突，引导学生在对比交流中实现这两步跨越，突破建模障碍。

师：用一道简洁的式子就表示出天平的状态。你会像这样表示吗？（出示图2）

（教师收集、展示出：x+50=100、100-50=x）

师：你认为哪道式子清楚地表示出了天平的状态？

生1：我认为第一道算式能很清楚地表示天平的状态。

生2：我也认为是第一道，因为现在天平上x克的木块并不在右边，而是和50克的砝码一起在左边，右边是100克的砝码，两边相等。而第二道式子把x放到右边去了。

生3：我也认为第一道好，刚才生2说了，第二道式子把x放到右边，虽然100-50和x相等，但他是在算x的得数，不是天平现在的样子。

师：是啊，第一位同学把未知的量放在等号的右边，看样子是想通过100减50求出未知的x。但要清楚描述天平的状态，需要改变未知量的位置吗？

生齐答：不需要！

师：通过这两个式子的对比，那你现在认为用式子表示天平状态时要注意什么呢？

生1：我认为不用去求未知的量。

生2：不管已知还是未知，天平左边的写在式子左边，天平右边的写在式子右边。

（教师板书先写“x+50”，再写“100”，最后写“=” ）

在前一教学环节初步建构等价模型的基础上，教师开始在一边出现未知量，让学生调动已有的知识经验列出等式，将具有典型性的两种式子展示后，引导学生围绕问题“哪道式子清楚地表示出天平的状态？”展开对比、交流，让学生深刻感受到在客观描述天平状态时，已知量和未知量是平等的，实现跨越一;而通过对比、交流，加之教师在板书等式时的语言描述始终为“左边表示为××，右边表示为××，天平平衡，中间用等于号连接”，也让学生深刻感受到“=”是描述天平两边的等价关系，而不是以往经验中的从已知到未知的推算，在一定程度上实现了跨越二。在这一过程中，学生进一步感悟建构方程模型的方法：客观阐述等价关系事实。

三、遴选结构性素材，引导感悟模型结构

所谓数学模型，乃是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表述出來的一种数学结构[3]。既然数学模型是一种结构，要在小学数学课堂中引导学生感悟模型思想，就需要教师有意识地遴选、编排一些结构性素材提供给学生，引导学生感悟到素材中内隐的、本质的“结构”。这种感悟，是对模型思想的感悟;这种感悟，比记住一个定义更为重要。

方程教学中的天平是帮助学生感悟方程模型的直观“拐杖”，当学生通过观察不同天平建构出不同的等式，并突破了认知障碍，积累了较为丰富的关于“等价关系”的表象后，这时需要去除“拐杖”，进行更高层次的、形式化层面的“建模”，也就是寻找现实情境或数学问题中的“隐形天平”，建构数量间的等价模型。

师：看来看着天平写等式大家已经掌握很熟练了。没有了天平，你还能写出等式吗？

（师出示题组1）

男生有15人，女生有13人，一共有多少人？

男生有15人，女生有a人，一共有28人。

男生有b人，女生有13人，一共有28人。

（师引导学生审题、写式，之后展示出三道等式：15+13=28、15+a=28、b+13=28）

师：仔细观察这三道等式，它们之中就隐藏着一架隐形的天平。你能透过三道等式找到这架天平，想想天平的左边是什么，右边又是什么吗？

生1：我觉得天平的左边是总人数，右边也是总人数，两边是相等的。

生2：我有点同意他的想法，因为三道等式左边都是把男生人数加女生人数，就是总人数，右边也是总人数，所以两边相等。

师：你们的意思就是天平的左边可以表示为男生人数加女生人数，右边表示的是总人数，中间用等于号连接。是这个意思吗？（板书：男生人数+女生人数=总人数）

生齐答：是！

师：是的，这就是我们以前用过的数量间的相等关系。用等量关系式这架隐形的天平也可以写出等式。

（师出示题组2）

平行四边形的底是5米，高是4米，面积是多少平方米？

平行四边形的底是x米，高是4米，面积是20平方米。

平行四边形的底是5米，高是y米，面积是20平方米。

师：请你仔细读一读，根据题意写出等式，写好后再想一想，这里面隐形的天平是什么，左边、右边又各是什么？

（师展示学生三道等式，引导交流：5×4=20、4x=20、5y=20）

生1：这三道等式的左边都是平行四边形的底乘高，右边是平行四边形的面积，中间用等于号连接。（教师结合学生回答板书：底×高=平行四边形面积）

生2：这里隐形的天平就是我们学过的平行四边形面积计算公式。

师：看来我们学过的一些计算公式也是隐形的天平。

题组1设计了同样三个量的实际问题，第一题适合用四则运算方式列式，第二、三两题适合用方程方式列式。学生在前阶段已经积累了较为充分的“客观描述、建构等式”的经验，轻松列出三道式子。之后教师着重引导学生通过对比，抓住三个不同式子间共同的本质——数量间相等关系，并将这一抽象的模型想象为“天平”直观，使学生在抽象与形象的对比中深刻感受到数量间的相等关系就相当于天平，写等式关键在于建构出内在的等价模型。如此实现了从直观化建模到数学化建模的提升。之后教师再通过题组2的呈现，一方面进行模型建构的巩固与应用，另一方面也将题组1中的加法等价模型延伸到乘法等价模型，将数与代数领域内容延伸到图形与几何领域内容，让学生在模型建构的过程中进一步感受到无论是形象的天平或抽象的数学问题，还是加法或乘法，数的实际问题或图形的实际问题，这些问题中广泛且内隐地存在着数量间的等价模型，抓住它们的等价关系，可以用学过的等价模型描述出来，让学生对方程模型的感悟提升高度，拓展维度。

在学生充分将形象天平、抽象数学问题中的“等价关系”进行符号化描述，充分感悟了一元一次方程构建的本质，这时教师再从教学中积累的等式里取出方程，告诉学生这些就是我们这节课要学习的方程，引导学生观察并想想什么是方程。学生顺理成章理解到方程的两个要素：含有未知数、等式，教师再揭示方程定义。这时学生学到的不仅是“含有未知数的等式是方程”这一定义，更重要的是感悟到方程中内隐的模型思想，积累了建模的经验。

建构数学模型离不开抽象，所以要在小学阶段渗透模型思想，首先要符合学生的年龄特征，借助直观给学生提供抽象的拐杖。在某一模型思想（如方程模型）渗透感悟的过程中，对学生而言可能存在着某些认知障碍，这时就需要教师深入研究学生，精准把握学生在建构数学模型中可能存在的障碍，通过引发冲突、平衡冲突帮助学生实现障碍的跨越。而因数学模型本身的“结构性”特征，加之建构数学模型的抽象与形成数学概念的抽象又有所差异，所以建构数学模型、感悟模型思想过程中，教师既需要引导学生经历从借助形象进行建模到抽象建模的过程，又要有针对性地遴选、整合、呈现隐含某一模型思想的结构性素材，帮助学生在结构性素材问题的解决、对比中感悟模型本质及其存在的普遍性，感受数学语言的价值，深化对模型思想的感悟。

参考文献：

[1]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社， 2016：216.

[2]史寧中，孔凡哲.方程思想及其课程教学设计——数学教育热点问题系列访谈录之一[J].课程·教材·教法， 2004（9）：28.

[3]徐利治.数学方法论选讲[M].武汉：华中工学院出版社， 1983：15.

责任编辑：石萍

Abstract： Model thinking is one of the important mathematics ideas. Because of the limitation of childrens mathematics thinking features， it is difficult for them to experience the modeling activities rigorously and completely. Yet， teachers may focus on the design activity on the knowledge essence in teaching and guide students to perceive the model thinking in activities， which can help students to form and sustainably develop their rational spirit. The core of the equation lies in its internal equivalence model， which can be taught by effective intuition and the walking stick of modeling so that it can trigger cognitive conflicts and overcome the modeling barriers. Meanwhile， teachers should select structural materials and guide students to perceive the model structure， helping them understand the modeling idea and improve their mathematics accomplishments.

Key words： model thinking; equivalence; intuitiveness; structural material; primary school mathematics teaching