基于性质，融合知识，归于运算

彭晓霞

[摘  要] 平面几何是高中数学较为重要的内容，高考对于平面几何的考查，不局限于简单的证明，而倾向于从知识融合的角度开展.几何最值问题是其中较为典型的代表，因融合了几何与代数的特性使得问题的解法也呈现多样性，文章将以一道高考题为例对其进行多解探究，并探讨解法上的学习启示.

[关键词] 几何;最值;代数;多解;不等式定理

考题呈现与分析

1. 考题呈现

（2018年江苏高考数学卷第13题）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，其中∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为__________.

2. 考题分析

（1）信息解读

本题的最值构建是依托基本的△ABC，其中AB，AC，BC分别用字母c，b，a来表示，∠ABD=∠DBC=60°，即BD是∠ABC的角平分线，以此为基础来构建几何模型，如图1所示，则问题求解需要以线段AB，BC的长为基础来求解.

（2）本质分析

本题目表面上属于平面几何问题，但考虑到问题要求4a+c的最小值，实际上属于基本不等式的最值问题. 求解本问题需要利用几何性质和相关定理来构造含有“4a+c”的不等式关系，然后采用不等式的“拆解、拼合、凑成”等技巧，构造出具有“正”“定”“等”特点的不等式，即不等式的字母均为正数，不等式符号的其中一边为定值，且等号取得的条件可以满足.

（3）解法思考

本问题从内容形式来看属于几何中的代数问题，在数学知识领域，几何与代数之间是交叉融合、不可分割的，可以借助数形结合思想进行相互转化，对于几何代数问题的求解同样可以从几何、代数两个层面进行，可以采用数形结合的方式来互补求解. 从几何角度思考，则可以借助几何中的边角关系、性质定理来完成;从代数角度思考，则可以借助几何中的余弦定理转换为纯粹的数的运算;从数形结合层面思考，则可以考虑使用具有代数与几何性质特点的研究工具来完成线段关系向代数运算的转化，如数学向量、直角坐标系等. 总之，几何代数问题的求解，需要依托几何性质，采用适当的方法来构建数量关系.

启示：上述解法采用了建立平面直角坐标系的方式，确立了三角形各点的具体坐标，利用三点共线的坐标关系获得了不等关系构建的关键条件. 共线性质在平面向量中使用较多，在直角坐标系中使用主要利用的是点坐标之间的关系，从其本质来看是对两条直线相同斜率的代数反映. 需要注意的是构造条件的获得来源于对几何点的精准求解，尤其是对于较为一般的三角形，需结合线段长度和角的大小来完成.

总结反思与感悟

高中数学的线段最值问题，实际上是几何中的代数问题，由于该类问题的最值求解相对较为简单，可以直接利用基本不等式来完成，因而求解的关键是获得构建不等式的条件. 由于问题涉及几何与代数的双重特性，因此上述的求解分别从几何、代数以及两者综合等角度来完成，利用到了面积割补、余弦定理、几何向量和三点共线等知识. 本文探讨的四种解法是求解该类问题具有代表性的解法，其中最为显著的解法共性是基于图形特点，采用数形结合，归于代数运算，这也是该类问题的解题思路.

几何最值问题的求解过程，是几何性质与代数运算完美结合的过程，是数形结合思想与化归转化思想的融合过程，在解题过程中学生对于知识联系性的理解得到了加强，解题思维得到了充分的锻炼. 另外，在学习中开展一题多解探究，学生能够从不同的角度分析问题，深刻理解问题的本质特性，理解不同解法的精髓所在，并从中获得解题思路上的一些启示，这对于激发学生思维的创造性、多样性是十分有利的. 一题多解所展示的不只是解法上的多样，多解的过程同样是对数学多解之美的充分体现，同时正是多解的存在，使得数學的探究变得更有意义.