浅议波利亚解题思想与关键能力培养

朱捷

[摘  要] 核心素养背景下，高中数学需要培养学生的关键能力. 关键能力的培养不是空洞的，是需要载体的，是需要理论基础的. 借助于波利亚解题思想，思考其中对能力培养的要求，并与关键能力培养结合起来，可以发现该思想确实可以与关键能力的培养形成良好的结合关系. 在实际教学中，利用典型问题的解决，让学生体验波利亚解题思想，并从中寻找关键能力培养的契机，尤其是借助于学习反思，既培养学习能力，同时又能够提升反思能力，进而促进学生元认知能力的养成，而事实证明，这是关键能力的重要组成部分. 

[关键词] 高中数学;波利亚解题思想;关键能力

波利亚是数学界的名人，这位出生于匈牙利后入籍美国的世界知名的数学家，拥有着出色而不凡的数学思想及数学教育思想，其对学生思考问题与分析问题的能力无比关注，他的解题思想已经成为数学教育界研究的一个热门选择. 需要指出的是，此处所说的波利亚的解题思想，与我国应试形态下的解题并非一回事，如果说我们的解题更多的是基于应试需要而给学生一些解题技巧或者说是经验的积累，那波利亚的解题思想则真正的是一种思想，一种问题解决的思想. 笔者通过研究发现，在核心素养背景下理解波利亚的解题思想，似乎有着更为切合实际的价值意义. 因为核心素养关注的一个基本内容，就是“关键能力”，而所谓的关键能力，其内涵之一就是一个人在新情境、陌生情境中所表现出来的适应情境、解决问题的能力，作为一种关键能力，其在高中数学中如何得以培养，这是一个值得思考的问题. 而梳理波利亚的解题思想，则可以为关键能力的培养提供有益的帮助.

核心素养背景下波利亚解题思想解读

核心素养立足培养的重点之一，就是关键能力，核心素养落地的重要标志之一，就是关键能力的养成. 在这个背景下我们思考波利亚解题思想，琢磨他对解题的相关表述，可以获得一些新的理解. 比如说，波利亚在其著作《怎样解题》中，提出“当遇到一个新问题时，我们应该在脑海中回忆以前学习过的相关题目的知识、解题方法和解题技巧并对其进行适当的迁移，用于找到现有问题的解答方案”的解题思想.

如果纯粹从数学解题的角度来看，这样的判断就是一个解题的技巧，最多可以理解为解题的范式;而如果从核心素养背景下去理解，那波利亚所说的“新问题”，就可以理解为一个新情境，而“学习过的相关题目的知识、解题方法和解题技巧”就是在新情境中解决问题的工具，工具使用如何才能有效，关键取决于“迁移”，迁移才是“找到现有问题的解答方案”的关键，而一个人在实际生活中遇到问题的时候，所要遵循的不正是这种解决思路吗？而这不正是生活所需要的关键能力吗？因此可以认为波利亚解题思想确实蕴含着学生甚至是一个人成长所需要的内涵.

波利亚的著作《怎样解题》中，对其解题思想的概括可以从四个步骤来理解，这四个步骤分别是：第一步，弄清问题;第二步，拟定计划;第三步，实现计划;第四步，回顾反思. 弄清问题是解决问题的基础，也是问题解决能力（關键能力）体现的重要标志，很多学生在数学问题的解决中，常常弄不清自己要解决的问题，这意味着其缺乏分析问题中的已知条件与自己经验系统中已有知识的关系，弄不清所要解决的问题与已知条件的可能的关系. 从数学解题的角度来看，解决这个问题，通常是需要形成图示（思维导图）来表示解题思路的，这个图未必要画出来，但一定会出现在问题解决者的大脑中，这就是“弄清问题”的关键，也是关键能力形成的前提;拟定计划是问题解决的关键，也是梳理解题思路的重要环节，波利亚在描述寻找已知与未知联系的时候，提出了“辅助问题”的观点，即“一个与当前问题有关，且已经能够被解决的问题”，这实际上是在已知和未知之间寻找一个桥梁，寻找辅助问题，本身就是关键能力的表现. 这实际上是在提醒我们，如果超越了数学范畴而面临生活中的任何一个问题的解决，那在问题解决比较困难的时候，应当从已知问题中分析得出一个辅助问题，以使其能够促进对新问题的理解，实际情形中，无论是高端的科学研究，还是生活问题解决，这样的思想都是客观存在且能够充分发挥作用的.

由此可见，波利亚解题思想对于关键能力培养来说，确实可以说是一个重要源泉.

基于波利亚解题思想去培养关键能力

上面从理论上论证了基于波利亚解题思想去培养关键能力的可能性，那这种可能性能不能变成实践中的可能性呢？尽管我们还不能从当下的高中数学课堂教学中立即培养出学生在未来可用的关键能力，但为这种能力奠定坚实基础，那还是可行的，也是必需的. 这里就以数学解题中的相关思考为例来阐述.

其实，波利亚十分注重对学生“反思性思维能力”的培养，倡导解题（问题解决，笔者注）过程中数学方法的教学，他主张对解题结论的应用，从而激发学生的想象力. 在类似于上面的习题解决的过程中，笔者认为最后一步反思回顾是最重要的，真正有效的反思回顾过程应当是两步：先回顾，后反思. 回顾的内容包括自己最初是如何思考问题的，是如何寻找解决问题的办法的，然后将这个过程与正确的解决思路进行对比，以发现自己思路的可取的地方与不足的地方，同时还需要重点反思的是：自己怎样才能像标准解法一样，更迅速地寻找到解决问题的办法. 波利亚说这是一个想象的过程，实际上是非常准确的，因为学生在反思回顾的过程中，需要想象自己如果能够正确、迅速地解决问题情境，并想象其中自己的思维应当是怎样的. 这种基于已有解题经验构建理想情况下的解题过程，是能力形成的最关键的一环. 其可以在以后的类似问题的解决中得到检验，同时也是形成关键能力的至关重要的一步.

笔者在上面一个问题中引导学生思考：在弄清问题的环节，自己有没有想到从已知条件中的两个三角函数去通过共同的形式进行处理;在制定计划中，自己在建立条件与所求之间关系的时候是否顺利;而在实现计划中，最关键的一步，就是让学生思考利用不等式来转换原有问题是不是自己的第一反应，如果不是，那怎样才能是？这样的问题，往往能够驱动学生形成超越某一试题本身的思考，尤其是对于高中学生而言，这样的思考确实可以借助于他们的理性思考能力，从而转换为解决包括数学问题在内的所有问题的关键能力.

值得注意的是，对反思回顾这一环节本身的回顾，也是有意义的，这相当于促进学生生成一种元认知能力，即关于认知的认知，从心理学的角度来看，这对于关键能力的形成具有提纯、矫正作用，不能忽视.

以学习反思培养自身的数学学习能力

其实，在笔者看来，高中数学教学中重视反思能力的培养，怎么强调都不算过分. 当前应试形态下的高中数学教学，确实能够帮学生奠定坚实的数学知识基础，也能够培养学生较强的问题解决能力. 但最关键的一点是，由于应试背景下，学生的学习压力非常大，他们往往在解完一道题之后就想着去解决另一道试题，根本没有时间进行学习反思，这是非常遗憾的，也是数学教学之美中不足.

笔者以为，就一些重要的或经典的试题进行学习反思能力的培养非常必要，而且学习反思要么不做，做就要做扎实，要让学生真正领会到反思的作用，要让学生真正能够感觉到反思是可以提升其解题能力的（这可以通过变式训练来让学生体会成就感）. 实践表明，一旦学生认识到反思的价值，那在其他场合他们也能够自觉地运用反思，我们说在生活中，其实也是需要这种反思能力的，因而这样的教学过程恰恰就是关键能力培养的重要组成部分.

总之，在高中数学教学中，波利亚解题思想是有着源源不断的智慧力量的，在核心素养背景下，借助于这个思想培养学生的关键能力也是可行的，笔者感觉同行们应当努力尝试.