“三思维”下小学数学模型思想教学探究

艾中玲

（桃源县架桥镇中心小学，湖南 常德 415700）

“三维”是指联想思维、求同思维和求异思维。联想思维一般是由于某人或者某事而引起的相关思考。求同思维（也叫集中思维）,是一种有方向、有范围、有条理的收敛性思维方式。求异思维（也叫发散思维）,是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式[1]。

我们发现，在课堂上许多学生并未真正学懂数学的原因在于学生不懂得构建数学模型来解决实际数学问题[2]。所谓数学模型是指现实世界的研究对象,运用数学工具,通过数学语言表述出来的数学结构。数学中的各种基本概念,都是以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的。各种数学公式、定理、计算方法、理论体系等,都是具体的数学模型。通过对问题分析转化、数学抽象、模型构建、求解检验使问题获得解决的方法称为数学建模法，而只要建模正确，运用模型解答问题的过程缜密细致，一般都可使问题迎刃而解。

现在，根据元认知理论对这一思维过程进行认识，并通过探讨学生的思维活动,总结出数学学习“六步思维推进法”：

实际问题→分析抽象→选定模型→建立模型→数学问题及数学解→实际解及所用技术→检验。

在以上“六步”的思维推进中，虽然每步不是严格可划分的，但每一步或每两步之间都隐藏着、交织着复杂的思维活动，而且所需的思维方式又不尽相同，所以，我们课题组对这样的高级思维活动进行了仔细的观察、思考和研究，初步归纳如下：

在“分析抽象→选定模型→建立模型”过程中，联想思维是先导，也占主导地位。

当遇到具体问题时，对问题进行分析、抽象，将其数学化，联系所学的知识、联想类似的其他问题、联想已用过的模型及其名称、联想到的模型与此问题有无相关性等等，通过丰富的联想，就可以把记忆中储存的相关信息联系起来，涌现出可能的多种模型，最终得出是否建模及建立什么模型的结论。在这个思维过程中可能要完成多次联想，而由于问题的多样化，联想的方法也不同，主要有接近联想、相似联想、对比联想等。举例来说：

（图1）

（图2）

在人教版小学五年级上册第6单元，学习多边形的面积，我们选用了如下例子考察学生的思考过程，可以运用哪些思维方法。如图1，正方形A1B1C1D1是以正方形ABCD各边中点为顶点的正方形，正方形A2B2C2D2是以正方形A1B1C1D1各边中点为顶点的正方形...，依此下去，这些小正方形中能否有一个正方形的面积是大正方形ABCD的十分之一呢？为什么？

这首先需要由特殊到一般作接近联想。在解答前，让学生思考：可能联想到的知识点有哪些呢？哪些知识点对解决问题很有帮助？这是启发学生的联想思维，对具体问题是否可以建模、建立怎样的模型的思考。当学生回答出：正方形的面积、三角形的面积、分数知识、图形之间面积的关系、图形的分割、平移、翻转后,进一步启发他们联想到同一正方形内的4个角的三角形与正方形面积的关系模型：联想到图形的分割就可得出此模型，如图2所示阴影部分。从而得出由外而内正方形面积的关系模型：再推出正方形面积递减关系规律、建立分数递减序列模型，即：等。通过这些联想就基本完成了①、②步，接下来就要对其中的模型进行筛选，以便真正建立起有利于解决问题的模型，即第③步。而这一步的实现则可能是相似联想和对比联想的过程，也可能渗透求同和求异思维。

在“建立模型→数学问题及数学解→实际解及所用技术”过程中,先求同，后求异。

在思考“建立什么模型，如何建模？”时，我们需要排除干扰，联系因果关系，将知识逐渐“聚焦”，方向不断明朗，这就是前面所述“有方向、有范围、有条理的收敛性思维方式”，即求同思维。对于确定选用哪个模型及建模方法的思考，常常需要先思考常规建模方法，常规方法不能解决问题时，考虑建立别具一格的模型，也许能快速、美妙、恰当并富有创新性地解决问题，特别是在着手解决“疑难、高难”问题过程中更是这样，即运用求异思维，引伸出类似或相关的更多、更好、更有效、更妙趣横生的模型以解决复杂问题。

对于上面的例子，有那么多的模型，选用哪一个呢？或说哪一个对解决问题最有用呢？我们要能排除多个模型的干扰，优选出一两个，就要分析清楚问题的因果关系，将条件和结果联系起来，这样就会排除掉其他，而得到最有用的模型：由外而内正方形面积关系模型：进一步推出外，正方形面积递减关系规律、分数递减序列模型：在这一分数序列中，会有出现吗？没有！学生一下就豁然开朗了。这就是具体问题的数学化、数学解：原来，原本的问题就是要在分数递减序列中看是否存在这个分数。

这里，求同思维就解决了此问题，但我们的学生思维活跃，产生许多求异思维的模型，并解决了问题。例如就照图2那样，一直用三角形分割下去，每产生一个正方形就分成四个三角形，依次找出了大正方形与小正方形中的三角形个数关系、大小关系，等等。还有更多奇异的想法，都相应解决了问题。这就是“后求异”思维的应用。