数借形理解 形助数深入

石志江

《义务教育数学课程标准（2011版）》明确指出：教学活动要使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。而数形结合思想是小学阶段重要的数学思想之一，它能使抽象的、复杂的概念变成形象的、具体的事物，降低学习难度，调动学生的学习积极性，提高学习效率。

前不久，笔者参加了在南京市北京东路小学举行的教研活动，有幸聆听了一节数学课《数与形》，从中感受到数形结合的美。现结合其中的教学片断，谈谈自己的感受。

片段一：以形化数——激发兴趣，引入新课。

屏幕呈现：用1个橙色，3个蓝色，5个紫色和7个白色小正方形拼出的爱心。

师：同学们，你们看，黑板上是什么？

生：一个爱心。

师：如果让你用数学的眼光来观察这个图形，你看到了什么？

生1：这是一个轴对称图形。

生2：这是由16个小正方形拼成的图案。

生3：这个图形由1个橙色、3个蓝色、5个紫色和7个白色小正方形拼成，一共有16个。

教师板书：1+3+5+7=16。

师：如果让你重新摆放这16个正方形，怎样可以一眼看出是16个正方形呢？

请同桌两人合作一起摆一摆，试一试。

生1：我可以每行四个，摆四行，这样就变成了一个正方形。

生2：如果按颜色摆，就可以摆成一个金字塔。

生3：我可以把每种颜色摆在一起，每行四个，摆四行，也摆成一个正方形。

师：同学们，比较这三种摆法，你更喜欢哪一种？

生1：我喜欢第三种，这种方法更有序。

生2：我也喜欢第三种，它不但可以用42来表示16，也可以用1+3+5+7来表示。也就是说它把前面两种摆法给概括了。

评析：从学生的现实生活出发，设计用4种共16张小正方形纸片拼成的爱心图案引入本节课，要求学生用数学的眼光观察图形，从中抽取有用的素材进行教学，激发学生的学习兴趣，这符合认知的一般规律。让学生对16张正方形纸片重新排列，并说明自己喜欢的原因。让不规则的图形转化成规则的图形，并用数字表示，让操作与思考并重，为后续学习打下基础。

片断二：以数化形——初步探究，自主尝试。

师：古希臘的毕达哥拉斯学派就是这样研究“16”的，他们把正方形图变成了点阵图。他们把“16”称为“正方形数”，16既可以用“42”来表示，也可以用“1+3+5+7”来表示。

师：你还知道哪些正方形数？

生：1、4、9、25……

师：这些正方形数都是一个自然数的平方。它们又和哪些加数有关呢？选择两到三个正方形数研究一下，把你的思考过程记录下来。

师：你发现了什么？

生：从1开始，连续奇数的和等于加数个数的平方。

师：如果正方形数比较大，怎样可以很快知道最后一个奇数是多少？

生：正方形边长乘2减1。

师：通过刚才的研究，我们可以发现原来数和图形之间还有着这样的联系。

评析：深度学习不是盲目地提高学习难度，而是让学生进行更深入的思考。凡是学生自己能理解和感悟的，让学生自己去学习。本环节通过小组合作、反思交流等途径让学生经历数转化成形的过程，深刻领悟正方形数的特点，初步体会数化成形的思想。

片段三：数形互化——再次探究，深度学习。

师：这16个点横着观察，我们可以用“42”来表示;一层一层观察，可以用“1+3+5+7”来表示。还能怎么观察？

生：斜着观察。

师：斜着观察16可以表示成什么？

生：16=1+2+3+4+3+2+1。

师：其他正方形数又可以表示成什么？

生：这些加数的和是中间数的平方，中间数就是正方形的边长。

师：通过数形结合我们认识了正方形数。你们猜毕达哥拉斯学派还研究了什么数？

生：五边形数、六边形数……

师：毕达哥拉斯学派把这些数统称为多边形数。

师：通过图形，我们对数有了更深层次的了解。这就是我们这节课研究的主题：数与形。数形结合可以使复杂问题简单化，抽象问题直观化。

评析：让学习往下再走一步！上面的教学活动，通过教师的实时引导和追问，让课堂别开生面，谁都不能一口说出答案，学生需要细心观察、认真思考，这就是有意义的学习，这就是深度学习。教师实时出示五边形数、六边形数，丰富学习的内容，让学生对多边形数的理解更深入，同时进一步感受数形互化的思想。

片断四：数形结合——回顾比较，发展思维。

师：毕达哥拉斯学派研究的多边形数，有一个共同特点，你发现了吗？

生：点是一层一层增加的。

师：除了一层一层增加，还能怎么增加呢？如果是一圈一圈增加，点的个数又有什么规律呢？你能给这些数取个名字吗？

生：奇数平方数。

师：你还想研究什么数？

生：偶数平方数。

师：请同学们用我们今天学习的方法，课后尝试研究偶数平方数，好吗？

评析：如果思考深度不够，那么理解就不够，更谈不上深度学习了。本环节看似简单，让学习活动自然发生、自然展开，教师让学生用所学的方法与已有的经验去探究未知世界，这其实就是研究的目的与学习的归宿。

著名作家巴尔扎克说过，一个能思考的人，才真正是一个力量无边的人。本节课中，教师通过数与形的巧妙结合，让学生的思维更加有序，从低层次走向高层次，让学习变得更有深度。课堂中学生的表达与教师实时呈现的模块化板书，让学生零星的思维成果更加完整。教师通过具体的情境与实时呈现的图形，引导学生经历从特殊到一般、从简单到复杂的归纳总结过程，并激发学生更深层次的思考，让他们知道知识的来龙去脉。教师提出富有挑战性的问题，鼓励学生带着所积累的知识与方法，课后继续探究新的问题，课虽然结束了，研究与思考却还在持续。

（作者单位：江苏省淮安市东双沟小学）