培养直觉思维能力，拓展解题视野
2019-09-12刘雪梅
刘雪梅
[摘 要] 文章结合教学案例，引导学生从整体上观察和研究对象，鼓励学生提出近似合理的猜想，数形兼顾、相辅相成，让学生取得应用知识解决问题的经验等，从而让学生拓展思路、提升视野，提高解题速度和解题质量.
[关键词] 课堂教学;直觉思维;解题视野;创造性
直觉思维是一种直观、直接的思维，它是指未经过仔细的推敲和逐步的分析，就能直接揭示事物的本质的思维方式，它从事物的总体出发把握研究对象，对问题的实质进行快速判断，大胆地提出一些合理的推测和猜想，其中包括某些顿悟和灵感. 它具有敏捷性、独立性、跳跃性、试探性和简洁性等特点. 在课堂教学中，鼓励学生认真观察、合理想象、大胆猜测，就会防止学生机械地思考问题，从而提升直觉思维能力，促进逻辑思维的发展. 那么怎样才能达成以上目标呢？笔者从几个方面进行诠释.
引导学生从整体上观察和研究对象
直觉思维要求直接从整体上去研究和把握对象，通过直接的观察，快速缩小问题的突破口，捕捉到解决问题的契机.
案例1小明和小强从同一地点出发去电影院，小明要走40分钟，小强要走30分钟，如果小明先走5分钟，小强再出发，问小强要走几分钟才能追上小明？
这是初中阶段常见的行程类应用题. 见到这类问题，大部分师生第一反应就是用“方程的思想”予以解决. 一般的解题方案是：
设小强要走x分钟才能追上小明. 根据题意列方程，得x=（x+5），解得x=15.
如果长期以单一方式解决问题，就必然会限制学生的思维发展，使他们解决问题时带有局限性. 我们可以尝试换个角度，引导学生从整体上观察问题，直接触及问题的实质. 不难看出：这段路程小明要走40分钟，小强要走30分钟，而小明先走5分钟，就必定比小强晚到5分钟. 那么我们就可以得到，小强追上小明的时间应是小强行至全程的中点时，故列式为：x=30÷2=15.
显然，换个角度解决问题，既拓宽了学生的解题思路，又使数学充满趣味.
案例2Rt△ABC中，∠ACB=90°. 分别以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，过点C作直角三角形斜边的垂线，交AB于点H，交DE于点I，如图1，垂线将斜边上的正方形分成两个矩形. 求证：这两个矩形的面积分别等于两个直角边上的正方形的面积.
按照常规思考方法去证明一般是这样的：连接BF，CD，则△ABF≌△ACD（SAS），所以S=S. 因为S=2S，S=2S（等底等高），所以S=S，同理S=S .
但如果我们先不急于连接辅助线，而是全面地审视条件和图形，抓住“直角三角形斜边的垂线”这一关键寻找突破口，就会发现射影定理在这里得到了妙用.
因為AC2=AH·AB，AC2=S，而AH·AB=AH·AD=S，
所以S=S，同理，S=S .
鼓励学生提出近似合理的猜想
估测、尝试和猜想是直觉思维的显著特征之一，从古至今，很多伟大的发现都源于大胆的猜想. 数学教学中常常可以让学生抓住某些显著的特征，通过大胆的猜想得到结论，然后再去验证结论的正确性.
案例3已知：如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F，EF=4.5 cm，CD=8 cm，求梯形ABCD的面积.
本题乍看起来显然无从下手. 因为“S=（AD+BC）·高”，而没有一个已知条件与之相关. 这时，如果教师鼓励学生认真观察、大胆猜测，就会发现，EF是CD边上的高，而高往往与面积有关，它的结果会不会是“8×4.5”，也就是“底×高”呢？
分析 若此题的结果是“8×4.5”，即“底×高”，而“S=底×高”，则CD应该是平行四边形的底，EF应该是它的高. 那么，我们可以构造出一个平行四边形吗？于是过点E作CD的平行线，再通过两个三角形全等将梯形面积转化为平行四边形的面积，求得梯形的面积为36. 猜想结果正确.
由此看来，猜想确实有其重要的作用. 在数学教学中，教师要引导、鼓励学生先去大胆猜想，猜结论、猜方法、猜定理，然后通过严谨的、系统的方法进行论证.
数形兼顾，相辅相成
数形结合是探索解决数学问题的重要途径，它对提高学生的直观思维能力、综合运用能力，培养学生的数学素养都起着十分重要的作用.
1. 以形助数，直观明快
图形的直观性不言而喻. 在教学中，教师要有意识地引导启发学生挖掘形与数之间的关系，促使问题向直观形象转化，进而沟通知识与知识之间、方法与方法之间的联系，并从中发现新的解题思路，得到更好的解题方法，达成举一反三、触类旁通的教学目标. 这是一件多么了不起的事情.
案例4解方程x-4-x+2=2.
常规的解法是划分三个区间进行分类讨论，去绝对值符号求解. 解法如下：①当x≤-2时，4-x+x+2=2，得到6=2，矛盾，无解;②当-2
如果我们联想到绝对值的几何意义，就会发现，方程的解是数轴上这样的一个点：它与x=4的距离比与x=-2的距离大2，容易得到此点是x=0. 如图3.
这样的例子还有很多. 有时借助图形或几何意义来表示数量关系，能更直观地确定参数的位置，从而避免烦琐的分类讨论和计算. 不仅使问题更简洁直观，同时还拓展了学生的解题视野.
2. 数赋形意，直击要害
把具有一定关系的数量与图形联系起来，就会使抽象的概念和复杂的数量关系得到整合，从而降低题目的难度，找到解题思路. 许多数式往往有着几何背景，我们要善于根据问题的结构特征，联想到有关的几何意义及其图形，进而巧妙地解决问题.
案例5如图4，在?ABCD中，∠ABC=60°，AB=，AD=2，点E在AD上（点E不与点A，D重合）. 过点E作EF⊥BC且交DC的延长线于点F，连接BF. 在线段DF上是否存在一点H，使得四边形ABFH是菱形？如果存在，请说明点E、点H分别在线段AD，DF上什么位置时四边形ABFH是菱形，并证明;如果不存在，请说明理由.
本题如果单纯地从找点E和点H的位置出发很难找到突破口，但是如果关注到“∠ABC=60°，AB=，AD=2”这一组条件，就会马上联想到这恰好是一个锐角为30°的直角三角形的一条直角边和斜边的长，进而想到过点A作AH⊥DF于点H （如图5），从而解决问题.
数形结合是一种需要扎实的基础知识作为支撑的思想方法，应用的关键在于联系转化. 根据数量关系找到几何图形的结构特征，使问题变得简单、直观. 所以，在教学中应注意挖掘和渗透. 只有把思想方法贯彻始终，才会不断地提高学生对所学知识融会贯通的能力，培养学生思维的目的性和组织性.
让学生取得应用知识解决问题的经验
直觉思维很大程度上产生于经验，它是在观察、归纳、类比和联想的基础上，有时以“顿悟”的形式出现，即通常所说的产生了“灵感”. 实际上它是认知过程中的一种飞跃. 有时候我们解一道数学问题，会有一个百思不得其解的过程，然后在某一个点上忽然出现某种联想而豁然开朗，找到了解决的方法或猜到了一条证明的途径. 可见，“灵感”的产生、“顿悟”的出现并非凭空而来，而是需要雄厚的知识储备、丰富的实践经验以及不断总结、归纳、提升. 教师要让学生懂得：灵感基于经验的转换（如比较、类比、推广、相似变换、数形结合等），而经验的转化基于牢固的基础知识，学会应用知识去解决问题，并不断总结这方面的经验，就会提高自己的直觉思维能力，从而拓展解题视野的宽度.
以上讨论了直觉思维的意义以及直觉思维能力的培养，强调了直觉思维的地位和作用，但这并不意味着可以忽略或减弱逻辑思维能力的培养. 从上面的论述中可以看出，只有把直觉思维和逻辑思维有机地结合起来，才能有效地发展学生的创造性思维，从而促使学生进行多维思考，最大限度地发挥数学课堂的育人价值.
