大学物理刚体力学中的进动研究及应用拓展

2019-09-10杜永胜陈华韩向刚慕利娟

高教学刊 2019年3期

杜永胜陈华韩向刚慕利娟

摘要：为了开展大学物理课程的生动形象化教学、增强大学物理与工程技术的结合度，针对刚体力学中的进动进行了理论及应用拓展研究。由进动方程分析了车轮进动的具体运动特点，通过陀螺仪的实物演示揭示了飞机导航仪的工作原理，炮膛中的来复线表明了炮弹飞行中包含进动。工程应用实例的引出表明了大学物理知识点的具体应用，必然会提高教学效果与质量。

关键词：大学物理;刚体;进动;角动量;陀螺仪

中图分类号：G640 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2019）03-0061-03

Abstract： In order to carry out vivid visualization of teaching and enhance the integration degree of physics and engineering， the precession in rigid body mechanics has been researched by means of theory and application development. The precession movement of the wheel characteristics can be analyzed by the precession equation. The working principle of the aircraft navigation can be revealed through physical demonstration of the gyroscope. The precession can be included in the flight of shell by the rifling of bore. The introductions of engineering application indicate the application of physical knowledge. As a result， teaching effectiveness and quality can be improved.

Keywords： college physics; rigid body; precession; angular momentum; gyroscope

大學物理课程由于涉及力学、电磁学、光学、热学、振动及波动、近代物理等主要自然科学内容而成为各高等学校理工科专业主要的必修课程，大学物理课程与其他基础类必修课程最明显的区别在于大量的物理实验能显现各种奇异的物理现象，通过大学物理的学习有助于理解自然界各种现象的本质[1-3]。同时大学物理各章节内容也成为理工科学生学习后续专业课的理论基础。此外，日常生活中涉及的一些工程问题也可利用大学物理相关知识定量或定性解决。因而教师除了保证基本的课堂理论教学外，还可以通过相关的实物或视频演示展现理论知识的应用所在，使学生真正感受到应用理论知识就可以解决实际问题，提高学生学习大学物理的兴趣。

大学物理力学内容除研究质点或质点系的运动学或动力学外，具有一定形状或大小的刚体模型更符合实际情况。相比于质点（系）的平动，刚体力学主要研究刚体的定轴旋转[4]。刚体的进动则属于刚体转轴不固定的情况，例如常见的陀螺除绕本身对称轴线旋转的同时，其对称轴还将绕竖直轴回转，这种在外力作用下自转物体的自转轴绕某一中心轴旋转的现象称为进动。进动现象在实际工程中应用非常广泛[5]，结合实际案例进行进动的课堂教学必然能提高学生学习兴趣，也能体现学习大学物理的价值所在。

一、进动方程

设存在某一物理矢量，例如角动量，如果其变化率矢量大小不变而方向始终垂直于，则进动方程可描述为，其中常矢量，例如重力。由于变化率矢量总与矢量垂直，而它同时又是矢量的变化率，则矢量大小不变而方向改变，同时与方向同时变化，最终矢量绕矢量做进动。

二、进动应用拓展

（一）车轮的进动

将车轮的轴的一端做成球形，放在一根固定的垂直杆顶端的凹槽内。先使车轮轴保持水平，松手则车轮在重力作用下将发生倾倒。如果使车轮高速地绕自身对称轴旋转，在重力矩作用下车轮不会倾覆。设车轮受到的重力为，力臂为，其中为角动量单位矢量。设车轮所受力矩为，由角动量定理可知：

最终可以得到符合进动方程表达式。具体讨论可知为车轮重力所产生的重力矩，而分析可知车轮自转产生的角动量与垂直，因此重力矩只改变角动量的大小。受重力矩作用车轮dt时间内角动量变为车轮同时沿竖直轴转过角度为△？渍，观察可知重力矩此时与+d垂直。利用以上分析还可进一步得到进动的角速度表达式，在dt时间内角动量的增量dL大小可表示为：

其中？棕为自转角速度，d？渍为自转轴绕oz轴转动的角度，？兹为自转轴与oz轴间的夹角。将角动量定理带入式（2）中，得到Mdt=J？棕sin？兹d？渍。由于进动角速度定义为？棕p=d？渍/dt，则？棕p=M/J？棕sin？兹。可见，自转角速度越大则进动角速度越小，稳定性越好。

图1 车轮进动俯视图

（二）陀螺仪及其应用

陀螺不旋转时，在重力作用下将发生倾倒。陀螺绕本身对称轴高速旋转时在重力矩作用下陀螺不会倾覆。陀螺的定轴性是指其旋转轴方向在没有外力矩作用时将保持不变。图2给出三维陀螺仪示意图，其中两个内圈可动圆环支持陀螺转子但其位置随机改变，外圈圆环方位固定[6]。由于陀螺重力在中心位置导致重力矩为零，忽略阻力作用时陀螺仪不受外力矩影响，则陀螺仪的自转轴将稳定在某一固定方向，表现为陀螺仪的定轴特性，可在惯性导航等领域得到广泛应用[7]。例如飞机航向陀螺仪可进行飞机转弯时航向角的测量，虽然转弯时航向陀螺仪外壳随飞机转向，但陀螺转子依然稳定在固定方向，因此可确定飞机转过角度。传统的陀螺仪主要以机械式为主，陀螺转子必须具有足够大的惯量或转速，其结构复杂、对制备工艺要求很高，而测量精度又受多方面制约。目前使用更广泛的是光纤陀螺仪，包括干涉式和谐振式陀螺仪两种，其结构紧凑、灵敏度高、工作可靠，已经在现代导航仪器中扮演重要角色[8]。教师在课堂讲授时，可从生活中常见的骑自行车这个例子出发，提问学生为什么轮子转得越快车越不容易倒，为什么旋转的车轴会有一股保持水平的力量。

（三）来复线

自转速度极大的固体在受到诸如重力力矩的作用时，将在重力力矩的作用下进动而不发生倾覆，这一现象在工程中应用广泛。图3给出枪膛或炮膛内来复线结构图，枪弹或炮弹在射出时受来复线作用将做高速旋转，此时子弹轴相当于陀螺轴，高速旋转的子弹不但绕着弹头做圆圈运动，且弹头的轴线始终围绕着弹道切线做锥形运动，保证了子弹在空中飞行时不翻跟头，沿弹道曲线飞行。教师在课堂讲授相关内容时，可以先分析子弹无旋转射出时的情况。从枪管中高速飞出的子弹受重力作用时其弹道呈现抛物线形状。同时子弹在空中飞行时还受空气阻力作用，其方向与子弹运动方向相反并且一般不作用在子弹的质心上，从而对子弹产生阻力矩作用，使其稳定性变差，容易翻倒。最终子弹飞不远、打不准。而在来复线作用下子弹高速旋转时，空气阻力作用于子弹上的翻转力矩相对于地面陀螺受到的重力偶矩，子弹在翻转力矩作用下绕弹道切线作圆锥运动，其摆动角很小不足以使子弹翻倒[9]。

（四）地球的进动

日常生活中可观察到当陀螺的自转轴倾斜时，旋转的陀螺在重力矩作用下产生进动，其旋转轴绕铅直线缓慢地搖摆并在空间画出一个圆锥面。类似的，地轴的进动是指地球自转轴绕地日轨道面圆心垂线（黄极）的圆锥形运动。由于地球是一个扁球体，赤道部分由于自转的惯性离心力作用产生环形隆起，地轴进动与月球及太阳对地球赤道隆起部分产生的吸引力矩有关，需要注意陀螺中引力几乎平行于自转轴，而地球所受引力几乎垂直于自转轴，从而使地轴进动方向与地球自转方向相反，地轴在月球和太阳引力作用下有直立趋势。地球进动的速度为每年50.29〃，周期为25700年。地轴进动使北天极不能固定在某一个恒星位置，表现为北极星的迁移变换。还会导致地球极移及纬度变迁、赤道面的系统变化[10]。

三、应用拓展的课堂体现

作为理工科学生的必修课程之一，学生对大学物理复杂而繁多的公式推导常抱有抵触心理，并常常困惑学习大学物理能解决什么问题，这主要是由于大学物理中模型常常是理想化的，与实际常存在差别。这里我们需要时刻提醒学生，大学物理的理论公式背后是一个个生动、有趣又奇异的物理实验，了解并掌握这些实验现象的原理非常有助于对公式的理解，同时还有可能解决一些实际的问题，这样才能极大地促进学生对大学物理的学习兴趣。教师在进行实际工程问题的课堂引入时，一定要注意问题的选择。简单的视频播放及原理简介并不能真正的促进学生对问题的思考，而过于复杂的理论推导学生往往难以掌握，二者效果都不理想。教师应在选题上选取学生有一定了解并感兴趣的题目，这些题目或者可以借助于大学物理中的公式说明原理、或者教师提前给出这些工程问题的图形化结果并让学生借助物理公式分析讨论，这样才能让学生真正参与进来，提高教学效果。在刚体进动部分的课堂教学中，教师可以拿常见的实物陀螺为例，进行刚体进动内容的讲解，进而可以结合永磁铁进行陀螺悬浮的演示，如图5所示。这里可以提问学生，永磁铁的磁力线分布情况如何，实现悬浮为什么陀螺必须旋转起来等问题。此外，直升飞机的飞行中主旋翼就是一个大陀螺，它本身具有陀螺效应。由于重力不通过旋翼头中心，所以造成力矩的产生，从而导致主旋翼发生进动，导致飞行稳定性的丧失，这里可以要求学生通过查阅资料寻找解决方法[11]。另一方面，由角动量守恒可知，直升飞机尾旋翼可抵消主旋翼对机身扭力的作用，从而保证了机身的平稳。通过人工操作尾旋翼角度保证机身稳定难度极大。而利用陀螺仪实现则非常容易，陀螺仪根据机身的摆动多少自动作出补偿讯号给伺服器，进而改变尾旋翼角度，产生推力平衡机身。

四、结束语

通过进动问题的理论研究及应用拓展，在课堂教学中将学生感兴趣的实际问题引入并让学生利用所学物理公式进行定性或定量解释，提高了课堂教学效果、开阔了学生眼界并真正体现了学习大学物理的目的所在。教师在授课中需要注意案例的选择内容及学时安排等问题。

参考文献：

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[7]余同普，邹德滨，银燕，等.研究型教学模式在军校大学物理课程中的应用——以“陀螺的进动”为例[J].高等教育研究学报，2017，40（1）：82-85.

[8]吴於人，于明章，陆汝杰.光纤陀螺演示仪[J].物理实验，2001，21（8）：25-28.

[9]王志刚，张立换，徐建军.角动量理论在现代技术中的应用[J].现代物理知识，2007，19（1）：10-13.