速度分解问题的典例分析

李轶

[摘 要：涉及到绳子的连接体速度的合成与分解问题在中学里经常遇到，这类问题的分解与合成往往比较困难，学生难以理解和掌握，为了帮助学生理解该类问题的处理方法，笔者采用“求导法”、“微元法”，“按实际运动效果分解”来全面剖析这类问题的处理方法，并通过经典例题对其加以说明。

关键词：求导法；微元法；速度的分解]

在连接物体速度的合成与分解问题中，笔者们经常会遇到两个物体通过一根绳子跨过定滑轮连接在一起时，已知一个物体的速度，求解某一条件下另一物体的速度的模型。对于这样的问题，笔者通常使用“微元法”和“速度分解法”进行求解。如下题是绳端速度分解的一个十分常见的例题。笔者将用多种方法来全面解析这种模型，力图使学生能更好、更全面的理解这类模型的处理方法。

实例，如图1所示，在天花板上用一根轻质的不可伸长的轻绳，悬挂一只橡皮擦，用一根铅笔靠近绳上的某点，沿水平方向以速度[v0]匀速运动，则运动过程中橡皮擦做什么运动？

解析：要求橡皮擦的运动，可以先分解后合成，橡皮擦的和运动可以分解为水平方向和竖直方向的分运动，而橡皮擦在水平方向由于始终在铅笔的正下方，故其在水平方向的分运动易知为以速度[v0]做匀速运动，即[vx=v0]，竖直方向的分运动是笔者解决问题的关键。求解方法有：

方法一：“求导法”。

设当铅笔运动时间t后，其由A位置运动到B位置（如图2所示），铅笔运动的位移为：[v0t]，则橡皮擦在竖直方向的分位移为：[Sy=v0tcosθ-h]（其中：[cosθ=v0th2+v02t2]），

对时间求导其在竖直方向上的分速度：[vy=dSydt=v0cosθ]。

在铅笔的运动过程中，[θ]在逐渐减小，所以[vy]在逐渐变大，故橡皮擦在竖直方向上做加速运动，而水平方向上又是做匀速运动，故其合运动为曲线运动。

方法二：“微元法”。

令铅笔在很短的时间Δt内，由位置A向前运动到位置B，故AB=[v0Δt]，在OB上取OA的等长OC，连AC，BC即为这段时间内橡皮擦在竖直方向上上升的距离，由于Δt很小，故可认为AC边垂直于OB边，所以BC=AB[cosθ]，即BC=[v0Δtcosθ]，因此，此时橡皮檫在竖直方向上的分速度[vy=v0cosθ]，故得出和方法一样的结论。

方法三：“按实际运动效果分解”。

由题可知，在铅笔的运动过程中，使和动滑轮相接触的绳端（及B点）有这样的两个运动效果，一个是沿着OB方向绳子变长，另一个是绕悬点O转动的效果，故可以将绳端的运动分解成一个沿绳方向使绳子有伸长效果的分运动和一个垂直于绳子产生转动效果的分运动运动。而沿绳方向使绳子有伸长效果的分运动的速度即为橡皮擦在竖直方向的分速度。如图4所示，由三角函数关系，可得：[vy=v0cosθ]。

可见，三种方法从不同的角度帮助学生理解该类模型，可以让学生在学习过程中能更好的体会到该类问题的处理方法。

参考文献

[1]张志峰.巧用速度投影定理解决绳杆连接体速度问题[J].中学物理教学参考，2008（4）：27.

[2]方銀良.为何绳端速度如此分解[J].物理教师，2010，31（2）：14-14.