基于连续映射建模的连续体结构拓扑优化设计

王蕴博

摘要：基于连续映射建模的连续体结构拓扑优化设计方法目前主要有均匀化方法、 变厚度法、 变密度法、独立连续映射方法（ ICM） 、Heaviside方法及其变体，本文对其发展历程、发展现状及其内在联系进行了综述。介绍了上述几种基于连续映射建模的优化方法的基本思想、约束条件和优化模型，并提出其在理论研究和实际应用的发展方向和展望。

关键词：连续体结构拓扑优化;变密度法;ICM方法;Heaviside方法;连续映射建模

结构优化设计的现代发展源于1960年Schmit提出的将数学规划技术引进结构设计领域的开创性思想[1]。自结构分析与数学规划相结合至今，结构优化设计中的尺寸优化和形状优化业已相对成熟，而拓扑优化尚处于理论探索的发展阶段。结构拓扑优化包括离散体拓扑优化和连续体拓扑优化两种，后者为其主要研究对象[2]。连续体结构拓扑优化的最大优点是在结构的初始拓扑形式未知的前提下，根据已知边界条件和载荷条件以寻求结构最优的拓扑关系、确定出连续体较合理的结构形式，鉴于其既不涉及具体结构尺寸和形状设计同时又可给出最佳参考设计方案并产生新的拓扑构型，对整个连续体产品的初始设计阶段具有重要的意义。

（1） 基于连续映射建模的均匀化方法[2，4]、 变厚度法[5]、变密度法[6]、独立连续映射方法（ ICM） [7-8] 、Heaviside方法及其变体[9-10];

（2） 非连续映射建模的启发式算法[11]、渐进结构优化方法（ ESO）[12]和水平集法（ Level set） 及其变体等[13-14]。

均匀化方法是拓扑优化的一个重要的连续的优化方法[2，4]，取微结构的方向和几何尺寸为设计变量，并根据单胞尺寸的变化删除微结构，从而产生介于由中间尺寸微结构组成的复合材料。将困难的结构拓扑优化模型转化为相对简单的复合材料结构参数的尺寸优化模型。由于均匀化方法中每个单元有两类设计变量，敏度计算和求解过程变得非常复杂，因此，很多学者在研究拓扑优化时尽量避免使用完整的均匀化方法。

变厚度法以可变的单元厚度为连续设计变量，通过删除厚度处于尺寸下限的单元实现结构拓扑的变更。程耿东等[5]主要基于变厚度法对离散体和连续体在局部应力约束下的强度拓扑优化设计进行研究。变厚度法避免了均匀化方法中构造微结构的麻烦，因此可以较为方便地解决平面拓扑优化问题。但是，由于它把拓扑变量挂靠在低层次的单元厚度上，将連续体拓扑优化问题转化为广义尺寸优化问题，因此无法运用于三维结构中。

均匀化方法是一种经典的拓扑优化方法，它在数学和力学理论上极为严密，主要应用于连续体的拓扑优化设计，不仅能用于应力约束和位移约束，也能用于频率约束和屈曲约束。目前用均匀化方法来进行拓扑优化设计的有一般弹性问题、热传导问题、周期渐进可展曲面问题、非线性热弹性问题、振动问题和骨改造问题等，并被用于复合材料的有效力学行为分析中[17]。关于连续体结构拓扑优化中不同材料模型的均匀化方法的建模理论、应用及其推导过程详见综述性文献[2]。

该方法目前能求解的问题有限，但在理解拓扑优化的理论框架方面有着重要的意义，主要应用在拓扑优化理论研究方面。针对均匀化方法中出现奇异最优解的问题，程耿东[25，26]进行了深入研究，并指出应力函数的不连续性是导致桁架和连续体结构拓扑优化出现奇异最优解的本质原因，提出采用ε-松弛方法予以解决，隋允康和铁军则从ICM方法的应力过滤函数出发对应力奇异现象进行了思考和推导[27]。隋允康等[28]利用均匀化方法的思想，结合最小二乘法深入研究了ICM方法中的过滤函数，提出了过滤函数幂指数系数的概念，得出刚度过滤函数随重量过滤函数变化的规律。

二、基于变厚度法的连续映射建模

变厚度法的基本思想是以基结构中连续变化的单元厚度作为拓扑设计变量，主要用于平面结构（如膜、板、壳等）拓扑优化问题，但推广到三维问题有一定的难度。采用变厚度法的代表性工作有：Tenek 和Hagiwara 对薄壳结构的研究[5]， 程耿东和张东旭对平面膜结构进行研究[5]，王健和程耿东对具有应力和厚度约束的薄板和平面弹性体结构进行研究[5]，王健和程耿东应用变厚度分层优化方法研究多工况应力约束下连续体结构拓扑优化设计，周克民和胡云昌等用变厚度单元法对连续体结构进行拓扑优化，随后又将此方法与拓扑分析相结合。赖云山和马海涛研究了基于单元节点厚度设计变量利用变厚度杂交应力单元的二维连续体结构拓扑优化设计。

下面给出以重量最小为目标的基于变厚度法的平面弹性体结构拓扑优化模型 [5] 。

由于变厚度法把拓扑变量挂靠在单元厚度上，拓扑变量失去了独立的层次，导致连续体拓扑优化问题转化为广义尺寸优化问题，从而受到尺寸优化层次的制约，优化效率难以得到提高。

三、基于变密度法的连续映射建模

变密度法以均匀化方法为基础并加以改进，有效克服了基于均匀化理论的拓扑优化设计模型中设计变量众多且分析计算工作量非常庞大的缺点，是典型的连续映射建模的拓扑优化方法。

变密度法中的材料插值方法决定着结构的单元属性与结构单元的材料密度之间的数学关系， 对结构的最终拓扑分布起着关键作用， 使用不同材料插值方法其计算过程会有所差别，最后得到的拓扑结构也可能有所不同， 因此材料插值方法在变密度法中至关重要。具有代表性的密度插值模型有两种，一是 SIMP（Solid Isotropic Material with Penalization）材料插值模型]，二是 RAMP（Rational Approximation of Material Properties）材料插值模型。

Bendsøe和 Sigmund证明了SIMP方法在优化求解过程中出现的中间密度单元所对应的微观构型的存在性，进一步从理论上完备了变密度法。

近十年来变密度法得到快速发展，Sigmud和Clausen等人先后于2000年和2011年发表了基于SIMP模型变密度法的matlab程序，促使更多学者对变密度法加以了解、使用、研究和发展。Sigmund 研究了多物理场作动器构型设计，Olhoff研究连续体震动问题，罗震等基于变密度法和优化准则法推导并建立柔性机构拓扑优化的一种显式的设计变量收敛格式，结合分布式柔性机构优化设计的人工弹簧模型和虚拟载荷法，提出一种新型的分布式柔性机构拓扑优化设计的多准则优化模型，并用激光快速成形技术验证柔性机构概念设计的合理性。París等研究了在应力约束下以重量最小为目标的基于变密度法连续体结构拓扑优化问题，其优化模型如下：

在连续体拓扑优化中经常存在局部极值、棋盘格和网格依赖性方面的数值困难。罗震等[51]基于带权重的折衷规划法和SIMP密度函数插值模型，对多工况载荷条件下连续体结构拓扑优化过程中出现的棋盘格式和网格依赖性等数值计算问题进行了研究，提出一种二重敏度过滤技术以消除优化结构中的棋盘格式，使优化结构体现出较好的网格无关性。徐胜利等[52]基于SIMP方法通过最小柔顺性问题提出了一种体积守恒型Heaviside函数的密度过滤方法，可以有效消除灰色区域并使优化过程更稳定。

四、基于Heaviside方法的连续映射建模

Heaviside方法是最近提出的一种连续映射建模方法[9，19]。在连续体拓扑优化应用SIMP方法的建模过程中，Guest[9]和Kawamoto[12]等人使用带有Heaviside函数的密度过滤法克服棋盘格式和网格依赖性等数值计算问题，分别以不同的方式提出了独立连续拓扑设计变量的概念。其中Guest等使用辅助变量<C：＼Users＼lenovo＼Desktop＼中国房地产业2019-3（封面）＼Image＼image4.pdf>作为独立设计变量并利用函数

五、基于ICM方法的连续映射建模

隋允康1996年提出了ICM（独立、连续、映射）方法[7]，以一种独立于单元具体物理参数的变量来表征单元的“有”与“无”，这就是“独立拓扑变量”，将拓扑变量从依附于面积、厚度等尺寸优化层次变量中抽象出来，恢复了拓扑变量的独立性，为模型的建立带来方便，同时为了求解简捷，构造了过滤函数和磨光函数，使独立连续的拓扑变量逼近离散拓扑变量，把本质上是0-1离散变量的独立拓扑变量映射为[0，1]连续变量，在按连续变量求解之后再把拓扑变量反演成离散变量。ICM方法吸取了变厚度法和变密度法不再构造微结构的优点，又避免了把拓扑变量挂靠于尺寸或形状层面乃至人造材料上的做法，使拓扑变量恢复了理应有的独立地位，同时，定义连续的拓扑变量，从而可以吸纳数学规划中卓有成效的连续光滑的解法。

ICM 方法以结构重量为目标，从而将截面优化、形状优化和拓扑优化的目标统一规范化，独立、连续拓扑变量概念的提出不仅有效地解决了应力、位移、频率等约束下的连续体结构拓扑优化问题，从而更有利于工程实际应用，也实现了骨架类结构和连续体结构拓扑优化模型的统一，做出了不少令人满意的结果，其统一的优化模型如下：

隋允康、铁军、彭细荣和叶红玲等[15-17]对ICM方法进行了深入探讨和梳理：（1）通过选取不同的过滤函数可以不进行每步删除而得到清晰的拓扑图形，对应力约束、频率约束、位移及频率约束、简谐载荷激励下动位移幅值约束等拓撲优化进行了研究。计算算例表明ICM方法在处理静力问题及动力问题的拓扑优化都是可行的。

（2）基于ICM方法，建立了以连续体结构重量为目标的应力约束下多工况的三维连续体结构拓扑优化模型。利用 Von Mises强度理论，提出了应力约束全局化方法，从而将局部的应力约束转化为全局的应变能约束，由此减少了约束数目，降低了问题的规模，避免了敏度分析。另外，利用对偶理论，将建立的优化模型转化为对偶模型，用序列二次规划法进行了求解，从而减少了设计变量的数目，提高了求解效率。

（3）为了得到汽车车架的概念化设计基于ICM方法，给出了汽车车架结构的计算机辅助设计的有效方法。他们采用应力全局化策略，将局部的应力约束转化为全局的应变能约束问题，建立了以结构质量为目标，应力约束下的汽车车架结构的拓扑优化模型，研究了多工况应力约束下连续体结构拓扑优化问题。

（4）为了使求解位移和应力约束下重量最轻的连续体结构拓扑优化问题ICM（ 独立连续映射）方法得到更清晰的拓扑形式，引入拓扑变量离散性条件作为目标之一，与原目标组成多目标规划模型，使拓扑变量向0或1两端靠近，减小了删除率对结果的影响;用图形处理方法消除了棋盘格现象及网格依赖性;通过初选准有效约束及选择设计区域等，提高了求解效率。算例表明改进后的算法虽然迭代次数比原算法略多，但更稳键，更实用。

（5）为解决多工况下多位移约束的连续体结构拓扑优化问题，引入了抛物型K-S函数对位移约束进行集成化处理。在建立优化模型时， 基于莫尔定理按ICM方法导出约束点位移与设计变量之间的近似显函数关系，然后采用Lagrange乘子法进行求解。

（6）为克服应力约束下拓扑优化问题约束数目多、应力敏度计算量大的困难，提出了应力约束化凝聚化的ICM方法。在利用强度理论将应力约束转换成应变能约束后，提出了应力约束凝聚化的两条途径 其一为应力全局化的方法，其二为应力约束集成化的方法 由此建立了多工况下以重量为目标、以凝聚化应变能为约束的连续体结构优化模型，并利用对偶理论对优化模型进行了求解。该方法具有较高的计算效率，得到的拓扑结构比较合理，不仅适用于二维连续体结构，也适用于三维连续体结构。

（7）基于ICM（独立、连续、映射）方法建立了以结构重量最小为目标，以屈曲临界力、应力同时为约束的连续体拓扑优化模型，有效地解决屈曲与应力约束共同作用的连续体拓扑优化问题。

（8）基于ICM方法和拓扑优化的困难，]提出应变比能和畸变比能约束的概念发展了结构拓扑优化中全局化的方法，同时提出上、下阶跃函数和快滤函数的概念提高了拓扑优化的效率和克服棋盘格与网格依赖性问题。

六、结语;

本文对基于连续映射建模的结构拓扑优化方法的研究现状进行综述，以独立连续拓扑变量为基础的拓扑优化研究和并行计算技术将成为今后研究的重点。

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