2018年沈阳市中老数学试卷第25题解析

代丽宅

摘要：文章详细分析了沈阳市中考数学试卷第25题，明确指出其考查的知识点和运用的思想方法，旨在提升学生对压轴题的解题能力。

关键词：试题分析;解题策略;解题能力

中考是学生参加的第一次具有选拔功能的考试尤其是中考压轴题，更是具有选拔作用。下面，笔者对2018年沈阳市中考数学第25题给予分析与解答。

一、原题呈现

题目如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y= ax+bx-1经过点A（-2，1）和点B（-l，-1），抛物线C2：y=2x +x+1.动直线x=t与抛物线Ci交于点N，与抛物线C2交于点M。

（1）求抛物线C1的表达式;

（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长;

（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值;

（4）在（3）的条件下，设抛物线C.与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ =1且∠KNQ= ∠BNP时，试直接写出点Q的坐标。

二、试题分析

沈阳市中考数学试题易、中、难的比例为7：2：1。2018年沈阳市中考数学第25题中考查的知识点有列代数式、解二元一次方程组、解数字系数的一元二次方程、求二次函数的解析式、坐标与图形位置关系、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质和图形的变换、圆的定义。应用的数学思想有方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想。考查的数学核心素养包括符號意识、运算能力、数感、空间观念、几何直观和推理能力。

第（1）小题——用待定系数法，通过解二元一次方程组求解，运用的是方程思想。

第（2）小题——用点的坐标表示竖直方向上两点的距离，运用的是数形结合思想。

第（3）小题——尽管题中给出了直角边MN，但是仍要分两种情况讨论，再分别根据等腰直角三角形的性质和水平方向上两点的坐标关系列出含t的方程，进而通过解一元二次方程求解。遇到动态问题，就要注意不同位置要考虑周全，在教学中培养学生运动变化的观点，才是避免漏解的关键。

第（4）小题——进一步以运动变化的视角想出所有合理的情形，尽量准确地画出图形，这不仅考查学生的思维严密性，对学生的空间想象能力、动手操作能力、逻辑思维能力和分类讨论能力的要求也很高。接着，还要结合所画图形，找到恰当的着手点，再结合适当的方法去求解，这对学生综合运用知识的能力、分析问题和解决问题的能力的要求都很高。因此，此题充分体现了“压轴”的作用。

按照惯例，沈阳市中考压轴题的后面几道小题都要求“直接写出”结果，而大多数问题的结果也并不繁杂，因此准确作图、大胆猜想，往往就会有意外的收获。下面，笔者展示几名学生的解题思路，如图2～5所示。

当然，仅观察表面是不能解决全部问题的，关键是要挖掘图中特殊的数量关系和位置关系。例如，此题中的Q3，Q4与Q1，Q2就是两两对称的，只需求出其中一对点，另一对点用求对称点的方法即可求出，这样就利用转化与化归思想把问题分解了。

那么，接下来先求Q1，Q2，还是先求Q3，Q4呢？其实，直接求哪个点都能求出来，但是位置不规则时不好求解。因此，在有限的考试时间内，在兼顾答整张试卷的前提下，能顺利解决这类代数、几何综合题的唯一法宝，一定是从特殊的数量关系和位置关系人手。要么利用所发现的全等三角形（如图3和图4），要么利用所看出的轴对称（如图5），将这道综合题进一步破解为分散的、基本的知识点，接下来再进行几何推理或代数运算。

综上所述，学生的基础知识要学牢，运算、作图等基本技能要过关，书写过程要规范，这样才能在压轴题上“保（1）、争（2）、破解（3）”;勤练习的同时要多思考，学会分析、形成方法最重要，准确作图、合理猜想找特殊，这样才能在错综复杂的第（4）小题中找出解题思路。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定，义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]刘家良，在观察与联想中进行整体建构：2017年天津市中考试卷第25题评析有感[J].中国数学教育（初中版），2018 （10）.