一类导弹追踪敌快艇问题的数学模型

马慧

摘要：本文主要研究了一类导弹追踪敌快艇的军事问题，通过导弹和敌快艇的相对运动，给出了追踪引导下的数学模型，利用数学软件进行实验求解，并通过迭代公式分析了敌快艇的逃逸策略。

关键词：数学模型;微分方程;迭代公式;MATLAB软件

1 引言

随着高新技术的不断发展，对实際问题的刻画也越来越精确，而数学模型作为桥梁也发挥着举足轻重的作用。对于工程技术、自动控制等领域的问题，主要通过对问题的机理分析建立数学模型，其中大多数模型涉及到微分方程。而复杂微分方程的解析解一般很难求出，因此需要通过数值方法来求解。在数学模型中，迭代公式也是一种常用的方法，主要通过分析问题找出迭代关系来进行求解。

本文主要研究一类导弹追踪敌快艇问题，相关表述如下：某沿海导弹基地发现其正北方向h km处海面上有一艘敌快艇，正以v km/h的速度向正东方向行驶，该基地立即发射导弹跟踪追击敌快艇;导弹的飞行速度为v0 km/h，并自动导航使导弹在任意时刻都能对准敌快艇飞行。假设以导弹基地为坐标原点建立直角坐标系，则敌快艇在y轴上点A处;导弹在t时刻的位置是P（x，y），敌快艇的位置是Q（vt，h）;导弹的飞行曲线y=f（x）.

图1

2 一类导弹追踪敌快艇题的数学模型

对于上述问题，主要考虑两种情形：情形一是在h=100km，v=90km/h，v0=450km/h时，研究导弹将在何时何处击中敌快艇;情形二是在H=120km，V=135km/h，v0=450km/h时，考虑敌快艇沿着与导弹飞行方向成何夹角，更有利于敌快艇的逃逸，并进一步地研究敌快艇的逃跑策略。具体步骤如下：

2.1 分析与假设

针对该问题，可考虑两个方面。一是由导弹运行的曲线方程建立关于导弹飞行路线的微分方程数学模型;二是研究敌快艇的逃逸策略，实际上只需考虑导弹何时击中敌快艇，再从相反的方面考虑问题，即可得出相关的策略。再由问题的实际运行环境和条件，结合数学理论和模型建立的可行性，做出如下假设：

（1）在整个过程中忽略导弹飞行遇到的空气、风力和风向等因素的影响;对于敌快艇来说，忽略海上自然条件带来的影响。

（2）导弹从发射出去后，始终以v0=450km/h匀速飞行，忽略其速度方向;同时不考虑敌快艇速度方向，在情形一中始终以v=90km/h做匀速运动，在情形二中始终以V=135km/h做匀速运动。

（3）导弹飞行方向与敌快艇逃逸方向的夹角为θ，考虑到敌快艇自身的体积，若导弹与敌快艇的位置相距不超过0.001km=1m，则可认为导弹击中敌快艇。

2.2 模型的建立与求解

由上述分析和假设，结合给出的具体数据，可建立两个模型。

模型一：微分方程1。针对情形一，由于导弹在任意时刻都对准敌快艇飞行，结合图1知，直线PQ的斜率就是导弹的飞行曲线OP在点P处的飞行方向，则

.（1）

对式（1）整理可得，

.（2）

由具体数据知，导弹飞行速度是敌快艇运动速度的5倍（），即

.（3）

联立方程（2）（3）并对y求导，得

.（4）

为了简化计算，令x=x1，x′=x2，则结合方程（4）和初始条件x（0）=0，x′（0）=0，可建立微分方程的初值问题，即

.（5）

进一步地，将上述初值问题转换成y关于x的微分方程初值问题，即

.（6）

其中h=1×102km，利用MATLAB数学软件2求解式（6），整理得到图2。

图2

由图2知，导弹在点（2，100）km处（即t=13.3min时）可击中快艇。

模型二：迭代公式。针对情形二，可利用追踪导引法3，通过划分时间段来研究夹角θ的变化，判断导弹到敌快艇之间的距离与0.001km的大小关系即可。而时间段划分的越详细，则导弹飞行的曲线就越接近直线。

假设在任意时刻导弹和敌快艇的位置坐标分别为（xmi， ymi）、（xsi， ysi），导弹速度方向与x轴正方向的夹角为αi，当时间段（步长）为λ时迭代格式如下：

导弹的坐标，

敌快艇的坐标，

其中，夹角 ;第一个步长对应的导弹和敌快艇坐标分别为， .

由距离公式可知，当满足时，导弹可击中敌快艇。假设导弹击中敌快艇的位置（xpn， ypn）=（X， Y），击中的时间T=nλ，即敌快艇若在T=nλ时间内可以选择逃跑。通过MATLAB数学软件求解，整理可得，当θ=0时，敌快艇拥有的逃逸时间为T=22.86min，此时的逃逸时间最长。

由此可知，当导弹刚发射时，敌快艇拥有的逃跑时间最长，也就说，当敌快艇逃跑方向与导弹飞行方向平行时，最有利于敌快艇逃逸。事实上，根据现有数据，敌快艇的逃逸速度（不考虑方向）在导弹速度方向上的最大分量远小于导弹的飞行速度（V=135， v0=450km/h），;因此对于有重要作用的快艇，若能提高敌快艇的逃逸速度，再设计逃跑策略，则有可能实现成功逃逸。

2.3 模型的评价与不足

本文通过微分方程和迭代公式进行建模，将实际问题转化成可研究、可定量分析的数学问题，并利用数学软件MATLAB求解，提高了求解的效率和精度。但由于考虑了相对理想的自然环境，忽略了其对追踪时的影响，因此本文所得到的数据有一定的误差;接下来，可加入风力、风向等因素，进行更详细的研究，通过敌快艇的逃逸策略来改进导弹，提高导弹的打击精度。

导弹追踪敌快艇的问题是将数学理论与军事问题相结合的一个小分支。近两年，随着国内外形式的变化及高新技术在军事上的应用，相关导弹问题的研究越来越受到很多学者的重视;同时这也是数学模型在实际问题的一个重要应用。因此从数学建模的角度对该问题进行分析，考虑导弹击中快艇的位置和时间和快艇的逃逸策略，对新形势下研究高新技术在军事方面的应用有着十分重要的意义。

参考文献：

[1] 韩中庚.数学建模实用教程[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2] 明廷堂，李辰.MATLAB零基础入门教程[M].北京：化学工业出版社，2018.

[3] 孙浩轩.追踪导引法的MATLAB仿真实现[J].信息科技探索，2018.

[4] 申皓天.动态情境下目标检测与跟踪的数学模型[J].产学研理论与实，2018.

（作者单位：陆军边海防学院）