浅谈数形结合在高中数学教学中的妙用

李莉

摘要：高中学习是学生学习生涯中最为重要的一个阶段，教师开展教学活动时应适时运用相应的教学方法，最大限度的增强学生的学习能力。作为数学基本思想之一的“数形结合思想”，在高中数学及其他学科中均被广泛运用，教师必须将数形结合教学方法与其他教学方法紧密联系，融会贯通，培养学生积极学习的兴趣，从而稳步提升学生的学习能力，确保学生数学学习质量得到提升，数学教学质量得到提高，加快我国教育行业的发展。

关键词：高中数学;数形结合;方法运用

初中数学内容比较具体，以模仿练习为主，变式不多。学生在几年的学习中，已经形成了一定的思维模式。但高中数学内容比较抽象，更加注重对于知识的理解与运用，变式很多。这对于刚升入高中的学生来说，具有很大的挑战。针对这一问题，笔者通过多年的教学实践和反思发现，教师可运用数形结合思想方法，帮助学生高效完成这一认知规律的过渡。实践证明，这一方法在高中数学教学中具有很大的优势。

一、数形结合的定义及其实质

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以“数”作为手段，“形”作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。

二、利用数形结合，复杂问题简单化：突破三角函数教学重点问题

学生的图形意识在日常生活中对身边的物品的形状已经初步构建，因此学生在数学学习的过程中或者在实际开展教学工作的时候，教师应该充分运用学生这一生活直接经验基础，在数学教学中将其展现，进行数形结合的思想全面渗透，进一步深度挖掘教学素材。进行学习解析式的一些数量关系以及抽象概念的时候，可借助其几何意义，学生理解时更容易，因为把抽象问题具体化、简单化、直观化，相互渗透以及转换数与形之间信息，学生的解题思路必将得到更大拓宽、更深的拓展、更大的迁移和更广的收敛，从而让学生取得事半功倍的学习效果。

1.三角函数定义。在求正弦、余弦、正切值的时候，我们会发现学生解决问题的办法有很多种，但基本上都是采用定义来求解。关于三角函数的问题，学生在初中阶段就已经学习过了，所以高中生对此并不陌生。但是，三角函数在高中数学教学中仍为教学的重点，其定义的解读就需要采用数形结合的方法。

2.同角三角函数关系。高中数学中关于同角三角函数关系的推导有两种方法。一种是通过直接的代数运算，利用同角三角函数基本关系，根据已知条件，列方程组来推导。这种方法运算过程比较复杂，很容易在计算过程中出错。另一种是通过条件，运用图像和定义，学生就可以直观地表示出来。毫无疑问，第二种方法远远比方法一更便捷、更有效。

3.三角函数性质。在求解三角函数角的集合和求解角中，我们也可以采用数形结合的办法，其中比较常用的便是将单位圆、正余弦的图像与代数式相结合的方法。同样，在遇到比较大小问题时，我们也可以将所要比较的三角函数值通过图像表示出来。

三、利用数形结合，抽象问题具体化：解决直线与圆锥曲线教学中难点问题

数学中的经典问题特别关注数学规律探究，其中重点所在是图形规律。但是，我们在挖掘数学的知识点，并不能仅仅停留在剖析图形的结构，或者图形表面的美观度上，而是应该倾注于图形中的数量关系、数形结合思想方法的充分利用，这样才能确保数学问题的顺利、高效和快捷解答。

（一）简化处理直线与圆的问题

1.刻画直线的倾斜程度。关于这个问题，我们可以从数、形两个角度来描述刻画，这样比较形象具体、一目了然，也方便学生理解。

2.平面内两条直线位置关系的判定。我们主要通过画图或利用直线方程两种方法来判定平面内两条直线之间的位置关系。前者比较形象直观，颇受学生青睐。但是，为了确保结果的准确性，我们还宜采用算式进行检验。

3.对称问题。我们解决直线关于原点对称问题的时候，通常采用三种方法——截距式法、对称点法、点到直线距离的方法。相比较来说，前两种方法更为简单，学生可以在图上找到对称点，然后进行验证即可，这不充分彰显了数形结合方法的妙用吗？

4.求圆的方程。解决这类问题，我们通常采用待定系数法、数形结合法，显然前者需要解方程组，操作起来会比较麻烦，容易出错，而后者通过图像，直观、简洁、明了，事半功倍，数形结合功不可没！

（二）直观解决圆锥曲线问题（以圆锥曲线定义为例）

在教学过程中，我们通过数形结合方法对曲线进行定义，可以让学生更为直观地认识曲线，其中椭圆几何特征还是比较明显的。通过观察图形，学生可以很快地找到题目中隐藏的已知条件，将全部已知条件代入函数图像中，便很容易解出问题的答案。再者，双曲线与椭圆类似，图形也可以为我们提供一些已知条件，方便我们进一步运算。

四、利用数形结合，几何问题代数化：解决向量教学中重要问题

1.用向量解决平面几何教学。几何中关于直线平行、垂直的问题可以借助向量来解决。我们可以将已知条件在图上以坐标的形式呈现出来，再将未知量在图中想办法表示出来，进而通过方程组来得出我们想要的结果。

2.用向量解决立体几何教学。与平面几何一样，立体几何中关于垂直、平行、夹角与距离等问题的解答也可以借助向量来完成。数形结合方法的运用，将向量中的分解法、坐标法等迁移到立体几何中。我们可以在图中标出已知各点，然后通过向量的方法求解即可。

五、利用数形结合，代数问题几何化：解决函数值域和最值问题

1.解方程教学。方程问题的解答，我们可以引导学生构建函数，将已知的函数通过图像的形式展现出来，然后再进行求解。值得注意的是，教师一定要提醒学生认真仔细，避免因为图绘制错误而产生错误的结果。当然，我们也不能完全依赖数形结合的方法，在具体操作中也应该结合代数式，选用的基本原则便是方便、快捷、准确。

2.求函数值域或最值教学。最值问题运用数形结合的方法最为方便，我们绘制的图像的最高点或者最低点便是我们要求的坐标。这种方法使我们一目了然地便可以知道我们要求得的坐标所在的位置，也可以作为我们验证结果正确与否的参照之一。

六、结语

总之，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。数形结合对于高中数学三角函数、直线与圓锥曲线、向量、解方程、求函数值域或最值教学的作用已经得到了教师与学生的普遍认可，学生对抽象的教学内容可以进行帮助理解，对于课堂教学效率的提升是卓有成效的。

参考文献：

[1] 陈大伟.高中数学教学中数形结合法的运用探讨[J].中国校外教育，2014（s1）.

[2] 陳益周.数形结合方法应用于高中数学教学的实践研究[J].兰州教育学院学报，2015（4）.

[3] 徐捷.浅析数形结合方法在高中数学教学中的应用[J].亚太教育，2016（27）

（作者单位：曲靖市民族中学）