浅谈不等式恒成立问题

余知才

不等式恒成立问题在近几年高考以及各种考试中经常出现，这类问题既含参变量又含自变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、知识交汇点多等特点，考题主要有以下两种方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的值或取值范围。解决这类问题的关键是转化，通过转化到函数求其最值来处理。而等价转化过程往往渗透着换元、化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法，其常用方法主要有：更换主元法、零点分布法、分离参数法、数形结合法、最值法、消元转化策略等，我结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略，以抛砖引玉。

在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加明朗化。

例1、已知对于任意的∈[-1，1]，函数（）=+（2-4）+3->0 恒成立，求的取值范围。

点评：对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。

点评：对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题，可以考虑函数的零点分布情况，要求对应闭区间上函数图象在轴的上方或在轴上就行了。

当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来，且分离后不等式另一边的函数（或代数式）的最值可求时，常用分离参数法.

不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等特点，要求有较强的思维灵活性和创造性，较高的解题能力，上述方法是比较常用的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理辅导和思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高。