变系数非线性薛定谔方程的精确行波解

摘 要：本文研究了非线性光学中的变系数非线性薛定谔方程。基于行波变换和改进的

G′G-展开方法， 成功得到变系数非线性薛定谔方程的精确行波解， 包括亮暗孤子解， 三角函数周期解， 双曲函数解和有理函数解。

关键词：非线性薛定谔方程;行波解;改进的 G′G-展开法

中图分类号：O175.29

文献标识码： A

非线性发展方程通常用来描述自然科学领域中出现的非线性现象，而构造非线性发展方程的精确解是研究这些非线性现象的一个重要课题之一。在过去的几十年，许多专家学者提出了一系列行之有效的求解精确行波解的方法，例如齐次平衡法[1]， Painleve截尾展开法[2]， Hirota双线性方法[3]， sine￣cosine函数方法[4]， 双曲函数法[5]， 试探函数法[6]， Jacobi椭圆函数展开法[7]以及F-展开法[8]， 对称约化法[9-10]等。利用以上这些方法成功获得了非线性发展方程丰富的精确行波解。

王明亮等[11]提出了一种新方法称为G′G-展开方法，并说明这种方法是求解非线性发展方程的一种有效方法。 G′G-展开方法的关键在于非线性发展方程的精确解能表示成关于G′G的多项式形式，这里G=G（ξ）满足一个二阶线性常微分方程。随后，利用各种改进的 G′G-展开方法， 许多学者获得了一大批非线性发展方程的精确解[12-14]。随后， Malik 等 [15]基于一个新的假设提出了改进的G′G-展开方法，用来求解了 Bogoyavlenskii 方程并得到了许多精确解，以此来说明这种方法的有效性。

本文中，我们利用改进的G′G-展开方法构造下列广义变系数非线性薛定谔方程的行波解[16]

3 总结

本文中，利用推广的G′G-展开方法构造了变系数非线性薛定谔方程的精确解。该方法的关键在于把变系数非线性发展方程转化为非线性代数方程。再借助于辅助方程的解，在一定的限制条件下，获得了变系数非线性薛定谔方程的精确行波解，包括了三角函数周期解，双曲函数解和有理函数解。特别地，当参数取一些具体的值，得到了亮孤子解，暗孤子解和复合孤子解。这些结果或许有助于解释非线性光学中的一些实际问题。本文表明：推广的G′G-展开方法和适当的变换的结合提供了寻找变系数非线性发展方程精确解的强有力的工具，而且这种方法能求解数学物理中其他的变系数非线性发展方程。

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（責任编辑：周晓南）