关注概念本质 深化概念教学

李克民

【摘 要】数学概念是数学知识的核心，也是数学思想方法的有效载体，深入理解和掌握数学概念是提升学生学习能力的保证。文章以苏教版三年级上册“周长的认识”一课为例，从影响概念教学的因素和开展概念教学的策略两个方面入手，提出教师应以学生的年龄特点和认知水平为基础，遵循学生数学学习的规律，使学生在经历概念发生、感知、形成、深化的过程中认识概念，并能够灵活地运用概念解决实际问题。

【关键词】小学数学;概念教学;周长的认识;教学实践

数学概念是现实世界物体数量关系和空间形式本質属性的反映，它是数学知识的核心，也是数学思维方法的有效载体。正确理解和掌握数学概念是发展和提升学生学习能力的保证。小学生的思维发展主要以具象思维为主，抽象思维还处于起始阶段，对抽象知识的解读能力还比较弱。因此，教师要基于学生的实际认知情况开展教学活动，将枯燥、抽象的数学概念融入具体的操作活动中，让学生在操作中体验、理解数学的本质。下面笔者结合苏教版三年级上册“周长的认识”的教学谈谈对概念教学的思考。

一、“周长的认识”教学实践

（一）课前准备

1.教材简析

在学习本课之前，学生对图形已经有了初步认识。教材通过一些规则或不规则的实物和图形，帮助学生直观理解周长的含义，即封闭图形一周的长度。在此基础上，教师让学生探索一般图形周长的求法，从而使学生经历周长求法的知识形成过程，认识到周长是可以测量的，感受“化曲为直”的数学思想，同时为后续他们学习规则图形周长的计算做好准备。

2.设计前测问题

问题一：你听说过周长吗？

问题二：你认为周长是什么？（可以用文字说明，也可以画图说明）

3.前测问题分析

笔者通过课前对学生周长认知基础进行测试，发现80 以上的学生不知道周长;在自认为知道周长的学生中，大部分学生不能真正理解数学上所说的周长，只有个别学生能正确理解。通过前测，笔者还发现学生对周长的理解存在两个问题：一是不明确一周的含义;二是知道三角形、四边形等直边的图形是一周的长度，但找不出不规则图形的周长。

因此，教师在教学过程中帮助学生建立“一周长度”的表象，理解周长的本质，完成从“形”到“线段”的转化是本节课的教学核心。

（二）课堂教学设计

1.情境感知，初步理解周长概念

首先，教师通过构建实际情境，利用可视化学习材料，让学生想一想、摸一摸、看一看，感知一周的长度。然后，通过描一描、说一说和辨析活动，让学生初步理解周长概念。最后，教师在教学时还要注重以下环节的开展：（1）理解一周的含义;（2）强化学生对一周概念的理解（让学生指出五角星、圆、爱心等图形的一周）;（3）理解周长的概念（语言表征、错题辨析、深化理解、想象表征等）。

2.体验操作，深层理解周长本质

教师让学生以小组合作方式测量图形的周长，并画出所求线段，将“一周”从图形中“剥离”出来，化“形”为“线段”，进一步让学生在动手操作中理解周长的本质。

师：下面这些图形（见图1）的周长是多少？你能测量吗？同桌两人合作完成。

① 教师建议同桌合作完成，并给予学生提示：

a.想好用什么工具;

b.需要特殊工具举手示意;

c.把数据记录下来，数值取整数。

② 教师引导学生操作并相互交流测量的方法。

师：圆能够用直尺直接测量吗？曲线应该用什么方法测量？

生1：先在圆上画一个标记，然后将这个标记对准尺子的“0”刻度线，再将圆沿尺子边缘滚动一周，看滚动到哪里，最后读出相对应的数值，这就是圆的周长。

生2：先用线紧紧绕圆一周，然后测量线的长度，这样就可以得到圆的周长了。

师：由曲线围成的图的周长，我们通常把它们一周的边线“化曲为直”，进而测量出它们的周长。

③ 爱心的周长计算。

师：爱心的周长为什么不能用滚动的方法测量？

生：因为爱心在滚动时有一部分不能贴近尺子，所以无法真实测量出这一部分的数值。

最后，教师小结三个图形的测量方法并整理成表格（见表1）。

3.内化巩固，练习应用周长概念

教师让学生运用所学概念，通过画图形、计算周长等练习，深化学生对周长本质的理解，进而发展学生的空间观念。

（三）课后检测

本节课教学后，笔者对学生进行了一个简单的课后检测（简称“后测”）。通过后测发现，大多数学生对于简单图形都能找出其周长，但遇到复合图形时就无法正确辨析出图形的一周。这说明，虽然学生对周长的概念有所感知，但这种感知仅仅停留在浅层阶段，导致学生无法熟练地运用其本质概念解决问题。从后测结果也可以看出，将两个相似图形放在一起比较周长时，学生会最先从图形的整体进行比较，即他们最先直观感受到图形面积的大小，而非图形外围一周的长度。

二、概念教学的几点反思

本节课的教学实践引发了笔者较深的思考：对于教师来说，究竟应该如何开展数学概念教学，才能使学生正确把握概念的本质，使知识内化于心？

（一）学生认知角度

1.学生已有认知结构对概念学习的影响

依据奥苏伯尔有意义接受学习理论，学生对新知识的学习通常是在原有知识的基础上展开的。因此，数学概念的构建应建立在学生已有知识的基础上，通过融入新知识，由已知推导未知，从而构架起新的知识体系。在“周长的认识”一课中，课本将周长定义为封闭图形一周的长度。我们利用拆分法不难发现，“周长”一词需要从两个角度来理解：“周”表示一周，“长”表示长度。那么教师如何帮助学生感悟、理解周长的含义呢？

首先，从前测的结果中我们发现，学生对于“一周”的理解是多样化的，有的学生认为是一个星期，有的学生认为是图形的外边，还有的学生认为是图形外面的一圈。因此，教师应帮助学生在已有认知的基础上，走出误区，重建对“一周”的理解，从而把握周长概念的本质内涵。

其次，我们要明确周长是一种特殊的长度。在此之前，学生已经学习了正方形、长方形等平面图形和线段，对形和面也有了初步的感知，但是学生对于“长度”的认知仅局限于线段的长度，很容易将周长与形或面混淆，导致以“大小”来判断周长的长短。后测的结果也反映出这一问题，即相比于长度，学生对于形的观察更加直接。因此，在开展教学过程中，教师应帮助学生从二维的形过渡到一维的长度，建立起周长与线段长度的联系。

最后，学生在日常生活中接触到的事物大多与图形有关，故教师在教学中要充分利用这些宝贵资源，比如让学生测量头围、胸围、腰围，用剪刀沿着边缘剪下某个图形或图案，沿着跑道跑一圈，等等。对学生来说，他们通过这些生活原型建立周长的概念会相对比较容易。但如果学生在生活中缺乏这方面的体验，原有认知不足，那么他们就会在理解周长的概念上产生困难，从而阻碍了新概念的学习。

2.学生抽象概括能力对概念学习的影响

数学概念的构建要基于内涵与外延的明确，只有在明确的基础上才能深入理解和形成数学概念。在教学中，教师要引导学生抽象出数学模型，揭示出概念的内涵与本质，进一步让学生正确理解数学概念。对于三年级学生来说，他们的认知水平正处于具体运算阶段，思维发展仍以具体形象为主，抽象思维正逐步发展起来，因此在解决问题时，他们仍需借助几何直观的支持。也就是说，此阶段学生的抽象概括能力较弱，对于数学概念的理解依然需要借助实际事例，通过观察、分析、概括、总结等方法对概念进行有效理解，进而再内化为自己的知识结构。在“周长的认识”一课中，学生第一次接触“周长”这个专有名词，因此“周长”对他们而言是陌生的，但学生可以通过具体可感的学习素材来感知周长。从后测的结果可知，学生寻找实际事物的周长相对容易，但是对于几何图形，特别是组合式几何图形，学生从这些图形中抽象出周长的表象就相对困难，而且部分学生容易受到其他不相干线段的影响，导致周长判断错误。

（二）教师素养角度

1.教师专业素养

教师的专业素养会对学生的学习产生一定的影响，因此教师对概念解读的深浅程度也会直接影响学生的学习深度。在教学中，教师应当准确把握课程内容的实质和学生的实际情况，从而制订合理的教学目标，设计合适的教学方案。“周长的认识”一课的教学重点是让学生感悟、理解周长的含义，因此教师的教学活动应基于这个教学重点而开展。在教学时，教师应明确周长的定义及周长概念的本质，思考能够有效帮助学生体会一周长度的方法。在传统的周长概念教学中，教师通常将关注点放在图形周长的计算上，而对其概念的构建总是一笔带过，这样会造成学生在解决与周长有关的实际问题时产生困难，同时也会使部分学生因为没有准确理解周长概念而与后续的面积概念产生混淆。如果教师对周长概念的教学产生理解偏差，将活动的重心放在图形周长的测量方法上，而不注重学生在活动中对图形一周边线长度的感知，没有让学生认识到周长也是可以测量的，这样会使学生自主探究、体验周长的形成过程不合理，导致学生对周长表象的建立不完善，容易对周长概念产生模糊不清的情况。

2.教师教育教学

（1）教学观念

教学活动要注重教和学两个方面。教学不是教师的独角戏，因为离开了“学”，也就无所谓“教”。在当前的数学教学活动中，仍然普遍存在“教师讲，学生听”被动学习的教学模式，教师一味地追求知识的传授而忽视了学生自主探究的过程，因此无法调动学生学习的主动性和积极性，阻碍了学生的全面发展。笔者在磨课时也出现了“一言堂”的情况，本该由学生自主体会、感悟、概括的重要概念，全由笔者一人阐述，这样妨碍了学生进行自主探究和自主思考。

（2）教学手段

教学手段是教师借助教学辅助工具开展课堂教学活动的一种方法。多媒体辅助是当下教育教学活动最常见的教学方式。“周长的认识”一课属于图形与几何的内容。图形与几何具有较高的抽象概括性，学生需具备较强的空间想象能力，因此教师只凭借一支粉笔、一块黑板的传统教学手段，并不能很好地帮助学生动态地构建周长的本质概念。教师运用多媒体技术，通过剥离、组合图形边线的方式，让学生更直观地感受、认识周长是图形一周边线的长度。当然，教師在教授“周长的认识”内容时并不能完全依靠多媒体技术，应结合多媒体演示，让学生进行自主思考、自主探究，接着教师再对周长概念进行细致入微地讲解，这样才能使课堂效益达到最大化。

（3）教学评价

教学评价的目的是为了了解学生在教学后数学学习达到的水平和存在的问题，教师利用这些信息对自己的教学进行总结和反思，进一步调整和改进教学内容与教学过程。反之，如果没有合理的、有效的教学评价，那么教师将无法意识到自己的教学方法和教学过程存在的不足，不利于教学目标的实现，从而也无法促进学生的全面发展。在教学“周长的认识”一课后，笔者采用书面检测的方式考查了学生对周长知识的理解。从检测结果中我们不难发现，学生基本能够理解周长的概念，但是利用周长知识解决数学问题的能力还比较弱，特别是将周长知识与面积相关知识点混合时，学生很容易只从面积的角度分析、思考问题。因此，通过这一次教学评价，笔者的教学反思便是教学活动如何设计才能真正帮助学生深化周长概念，减少干扰因素的影响。

三、开展概念教学的策略

（一）直观感知概念

1.提供感性素材，直观感受概念内涵

对于小学生来说，几何图形性质的知识比代数知识更抽象，而且受到年龄和认知能力的限制，学生从具体可感的事物中抽象出本质概念的能力比较薄弱。因此，在开展概念教学的过程中，教师有必要为学生提供大量的、形象的感性材料，让学生通过观察、操作等方式，获得对事物形象的认识，进而形成表象，为新概念的学习打下基础。

在教学“周长的认识”一课之前，笔者通过前测发现学生关于周长知识的基础非常薄弱，因此在教学过程中，教师应围绕学生的认知基础，利用操场模型图、课桌、钟表等实际可感的可视化素材，引导学生看一看、摸一摸、描一描、说一说，结合生活经验，通过观察实物、动手操作和想象等方式，使学生从行动表征到图形表征，再到语言表征，一步步建立起一周的表象，获得鲜明、生动和形象的认识，这同时也能加深周长概念在学生脑海中的印象。如果教师直接出示周长的含义则容易引起负效应，导致学生难以理解枯燥生涩的知识点，降低了学生学习的兴趣。

2.巧设教学情境，体会概念发生过程

教学情境是一种具有情感氛围的教学活动，良好的教学情境能够充分调动学生学习的主动性和积极性，能够帮助学生建立起具体经验与抽象概念之间的联系。结合学生的生活经验创设教学情境，能有效激发学生学习的主动性，让学生在一个轻松、和谐的学习氛围中，积极思考，各抒己见，共同发展。学生通过形象而具体的教学情境理解数学概念，内化数学知识，提高学习效率。“周长的认识”一课的教学通过学生对前测问题的回答来展开，目的是让学生发现每个人对“一周”的定义都各不相同，从而引发他们对“一周”概念的思考。在引出“一周”“周长”等专业术语时，将学生的前测答案以照片的形式放入课件中，让学生读一读自己对这些概念的理解，学生会觉得这些多种多样的答案非常有意思。这样既活跃了课堂氛围，又激起了学生的好奇心，激发了学生主动学习的兴趣。

（二）深度理解概念

1.从具体到抽象，逐步建立概念表象

基于学生的认知特点，学生理解抽象的数学知识应尽量结合可视化的学习材料，通过观察、操作等方式感知具体事物的特点，抽象出概念的本质属性，进而形成表象。“周长”这一概念比较抽象，教师在“周长的认识”教学活动中通常以创设探索图形周长活动的方式，让学生动手探索一般图形的周长，进一步感悟周长的实际含义。因此，在上课时，教师可以先让学生以小组合作的方式，利用直尺、线等工具测量图形的周长，再将结果填入表格中，最后学生自己总结测量的方法与过程，这就加深了学生对周长概念的理解。

2.矛盾冲突，在比较中明晰概念

在归纳出所学概念的含义后，为了进一步巩固概念的本质属性，教师可以设置辨析题，让学生利用概念比较题目正确与错误，从而厘清概念的外延。

（三）巧妙应用概念

1.转换情境，初步应用概念

在引入概念阶段，教师设置教学情境是为了减少干扰因素，进而帮助学生理解抽象概念的本质。而在应用概念阶段，教师通过转换具体情境，增加干扰因素，是为了使学生在解决问题的过程中能够更加明晰概念的本质，更好地帮助学生理解概念。

2.逆向思考，深化理解概念

小学阶段的学生正处于具体运算阶段，具有思维可逆性特点。但他们总是喜欢从正向思维思考问题，忽视逆向思维的应用，如果长此以往很容易导致思维狭窄，不利于他们后续的学习与发展。因此，教师应结合学生的思维特点，通过设置问题，让学生从相反方向辨认或理解数学概念的本质属性，逐步培养学生的逆向思维。

如“周长的认识”一课的教学，教师先让学生从图形中剥离出一条线段，理解周长的本质其实是图形一周边线的长度。接着，教师再反过来提问学生，如何利用活动中测量出的周长为9厘米的三角形画出一条9厘米长的线段。最后，学生运用周长的定义解释画图过程。這样他们就真正掌握了周长的本质，同时也渗透了“化曲为直”的思想。

3.综合练习，升华概念

教师设置综合性题型进一步帮助学生巩固数学概念。因为只有在正确理解概念的基础上，学生才能够熟练地运用概念解决实际问题。例如，在“周长的认识”一课中，教师设置的综合练习题可以是：“用3厘米、3厘米、2厘米、2厘米的四条线段围成一个四边形。请你想一想，画一画，可以围成怎样的图形？它的周长是多少？”也可以是：“有一块长方形草地被小路分成了两部分（见图2），小明按A-B-C-A的路线走路，小丽按A-D-C-A的路线走路，谁走的路程长？”

依据教材内容的编排，学生先学习周长的知识，再学习面积的知识，但学生对面积的感知要先于周长，因此教师通过这两道综合练习题，引导学生在关注形的同时，更需要关注边的长度，进而丰富周长的概念表象。

总之，在开展小学数学概念教学时，教师应以学生的年龄特点和认知水平为基础，遵循学生数学学习的规律，结合自身的专业知识，挖掘数学知识之间的内在联系，使学生在经历概念的发生、感知、形成、深化的过程中认识概念，并能有效灵活地运用概念解决实际问题。