求不定积分的常用方法及应用

白燕峰

【摘 要】在高等数学中微积分是最重要的基础课程之一，不定积分是微分的逆运算，是定积分计算的基础，函数积分的计算和应用对学生后续课程的学习有重要的作用。在实际生活中有好多问题可用定积分来解决。如求不规则图形的面积、变力做功、引力计算等。与微分相比积分形式更加复杂。本文就不定积分常用的方法及其在生活中的应用略谈一二，以供大家共同探讨。

【关键词】高等数学;不定积分;函数;原函数

【中图分类号】G712 【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2019）28-0018-02

积分是数学应用在生活中的重要工具，通过积分可以初步解决生活中的问题。如可以计算不规则物体的面积与体积，计算作用在物体表面上的压力，解决生产生活中的供求关系等。与高中所学函数相比，有了实际的应用价值。在应用中，由于较之微分，积分形式更加复杂，很多初等函数没有初等原函数，如，等，无法转化为我们熟悉的初等函数，求原函数更加困难，很多学生对复杂积分掌握不足。本文对求不定积分的常用方法进行系统的介绍。并且通过例题讲述积分在实际生活中的

应用。

1   不定积分的定义

设函数定义在某区间I上，若存在可导函数，对该区间上任意一点都有=成立，则称是在区间I上的一个原函数，称是在区间I上的不定积分，其中C为任意常数。

2   换元积分法

换元积分法的中心思想是通过引入中间变量来化简原式，将复杂的不定积分式变得简单，得出原函数后再将中间变量用原变量带入。

在求解过程中，换元法看似把与作为无关项对待，但这样是成立的。在对积分中，是外部函数而是内部函数，设F是的原函数，则，所以，在方程两端记，则：

由于已知，

所以可得两个积分相等：

1.1  三角函数换元

1.2  转化为可被三角函数换元形式

当被积函数形如时，可以将原式化简为转变为第一种类型。

1.3  处理根式

当被积函数形如等形式时，一般令此根式为一未知数，即。

3  分部积分法

这个公式用于被积函数可以看成一个乘积并且化简后上方右面公式比左面更简洁的情况。

关于如何选择和的注意点：

1.在选取时，需要保证能够求出

2.最好比更简单

3.最好比更简单

4   应用不定积分表

少数函数有初等原函数，有人已经将其列成一个积分表，熟练应用积分表，并灵活将所遇到的题目转化成积分表中的公式，将大大简化我们的积分难度。通过上述积分方法整理，需要熟悉掌握基本积分方法，面对具体题目时灵活运用，将复杂的题目归于这些基本方法。

5   积分在生活中的应用

例4：据说古埃及大金字塔是历时20年建成的，金字塔塔基的形状是一个230 m×230 m的正方形，塔高125 m.若建造金字塔所用石块的密度为3210 kg/m那么求出建成这座金字塔所作的总功，再估算建成这座金字塔需要多少工匠。

解：这座金字塔的高度为125 m，底面则为230 m× 230 m的正方形.由相似三角形的性质，我们可以求得在高度h处的正方形边长为230（125-h） m。在高度h处薄层的体积为s2△hm3因此其质量为3210s2△h，重量为3210gs2△hN。要建成这一层，就要把这重3210gs2△hN的物体向上抬高hm，于是做功为（3210gs2△hN）（hm）=3210 gs2h△hJ，那么建成整座金字塔各层所作的总功

当每一层的厚度△h都趋于0时，我们便得到一个定积分，又因为h从0变到125，所以，

現在已经计算出了建造这座金字塔所做的总功;下面需要估计所需工匠的人数，我们假设每个工匠每天工作10小时，每年工作300天，共干20年，又假设一个普通工匠每小时可以把10块25kg一块的石块抬高1m，于是他每小时可做功（250）（9.8）1=2450J，那么每一工匠在20年内所做功的总数为（10）（300）（20）（24550）=1.47×108。所以，所需工匠人数大约为（2.17×1012）/（1.47×108）≈5000人。

6   结语

不定积分的计算是高等数学学习的一个重点，也是解决之后二重积分三重积分的基础，更是解决简单实际问题的桥梁，本文只是对不定积分的积分方法进行了总结，要想熟练地掌握积分，还需要读者进行大量的训练，将本文的方法进行灵活地运用。

【参考文献】

[1]D.休斯.哈雷特，A.M.克莱逊.微积分[M].北京：高等教育出版社，1997.