两点之间距离公式的“变身”

李党森

在知识的产生和发展过程中，不同的知识之间，会有有很多的联系，形成知识体系，进而行成完整的学科知识。在高中数学中，有一个很有趣的知识点，它就是两点之间的距离公式。有很多知识都是它的变形，或者说是它的化身。让学生了解知识的本质，掌握知识之间的联系，构建自己的数学知识体系，认识数学的产生和发展过程。

首先，我们先回顾一下两点之间的距离公式。如右图，过点分别向轴和轴作垂线和，垂足分别为（，0）和（0，），过点分别向轴和轴作垂线和，垂足为（，0）和（0，），延长直线与相交于点.则是直角三角形。

在中，由勾股定理可以得到，。要求，必须知道和的值。为了计算和，就要求的坐标，而点的横坐标与的横坐标相同，纵坐标与的纵坐标相同，则的坐标.

于是有：=，=，所以=，，下面我们看一下点到直线的距离公式的定义和推倒。已知点直线求点P到直线 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）根据定义，点P到直线 的距离是点P到直线 的垂线段的长，如图2，

设过点P做直线的垂线为 ，垂足为Q，由 可知 的斜率为 ，的方程：与联立方程组解得交点：

其实，点到直线的距离的本质就是点P到两直线的交点Q的距离，就是两点之间的距离的一个化身。平行线间的距离公式本质也是一条直线上的任意一点到另一直线的距离，其本质也就是点到直线的距离公式。下面是平行线间的距离公式的推导。

设直线的方程分别为，，，点是直线上的任一点，设这点到直线的距离为，则，又，所以两平行直线之间的距离.

两点之间的距离公式的另一个变形就是圆的方程。其本质还是两点之间的距离公式的一个变形，等同于知道了两点之間的距离和其中的一点坐标，求另一点的坐标的问题。在平面直角坐标系中，设定点的坐标为，定长为，这动点的坐标为.由定义知：，两边平方得：，两点之间的距离公式的另一个变形就是直线与圆锥曲线相交后，弦长的计算公式。直线与圆锥曲线相交后的两点之间的距离，也即是弦长。下面我们推导一下弦长公式。设直线的方程为，直线与圆锥曲线的两个焦点分别为，则弦长：

总之，正确认识知识的本质，注重知识的产生过程，提高对知识认识，符合新课程理念的要求。在教学过程中，给学生一个更高的认识，能让学生很快构建知识网络，提高解题的能力，能更好的提高学生数学核心素养。