正项级数比较判别法的商榷

胡旭东

摘 要：文章主要介绍了正项级数收敛判别法中最重要的比较判别法，通过对传统方式进行微调提高比较判别法的实效性。

关键词：正项级数；收敛；比较判别法。

高等数学是重要的公共基础课程。级数理论是高等数学的重要组成部分，正项级数又是级数理论中最重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心問题。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，其中的基础性方法就是比较判别法。但是传统经典的描述方式存在一定缺陷，下面我们对经典描述做适度微调，可以发现如此解决问题就能事半功倍。

传统经典的描述方式

上述判别法是许多高等数学教材中普遍采用的描述模式，定理1是定理2的理论基础，但是定理1的描述本身有明显缺陷，定理中条件un≤vn（n=1，2，···）是不明智的，它带有歧义，是不是需要从n=1开始限制un≤vn？如果这样则定理1的作用大打折扣。

2.对经典传统的微调

下面结合级数收敛的性质对定理1中的条件做合理的微调，可以看到微调后的定理1更加适合于实际运用。

可以看到，我们仅仅是对定理1中的条件做了微调，不过这种微调却给定理2的证明拨开迷雾，让定理1的应用柳暗花明。下面举例说明：

例1定理2中结论的证明。

上述问题用到了由比较判别法衍生出来的积分判别法，其中在条件x>e下的推理形式和本文所述的妙味是相似的。由此可以加深体会微调的作用所在。

综上所诉可以看到，定理l'相对于定理1的优越性是不言而喻的。如果在教学中能够做出本文所指出的微调，这件事虽小，但的确超越了传统之经典。

参考文献：

《高等数学》 科学出版社 2011年2月第一版