数形结合、对应思想方法在 《分数除法》教学中的尝试

胡泽闻

【摘要】数学思想方法是数学文化的高度凝练，是数学的灵魂和精髓，是数学活动中需要不断渗透、不断强化的行动指南。本文试图以《分数除法》中的问题解决为载体，将数学思想方法在教学实践中无痕渗透，突出一一对应、数形结合等核心数学思想方法在教学活动中的自然流露，达到“清水出芙蓉，天然去雕饰”的纯净、醇美，突出数学思想方法在基础教育教学中的重要性。

【关键词】小学数学；思想方法；一一对应；数形结合；逐步推演

在小学《分数除法》单元教学中，为了深入理解分数除法的意义，我们常常将日常生活中的出油率、汽车单位行程内的油耗问题引入探究训练程序。在实际教学中，教师发现受教材编排体系的限制（百分数单元编排在分数乘除法单元后），学生尤其在解决出油率和单位数量的油需要多少原料问题时，出现思维障碍和解题困惑，有的教师让学生公式化的记取解题精要和答题妙招，以期待后面学习百分数理解出油率意义后再来“反刍”式思考，进而融会贯通。

实例一：一辆汽车分钟匀速行驶了千米，照这样计算。请问（1）汽车每分钟行驶多少千米？（2）汽车行驶1千米需要多少分钟？

基于解题经验和知识积累，学生对问题（1）能很好地运用“速度=路程÷时间”加以解决；对于问题（2），学生解题主要集中在两种思路上。其一，运用一一对应的数学思想，把它看作平均问题来解，解答列式为：÷=（分钟/千米）；其二，有的学生理解为“汽车行驶千米”对应“用时分钟”，而1千米是千米的倍，因而汽车行驶1千米的时间就是“分钟的倍”，即×==（分钟）。

上述方法二思考解答过程，我们可以用简图呈现如下——

然后，左侧“千米数”千米用“放大法”×就变为“1千米”，根据对应关系，右侧“时间”也该随着行走路程对应变化，因此汽车行驶1千米的对应时间就是“分钟的倍”，即×==（分钟）。

实例二：吨油菜籽可以榨菜籽油吨，则（1）1吨这样的油菜籽可以榨菜籽油多少吨？（2）要榨1吨菜籽油需要这样的油菜籽多少吨？

教学实践表明，将这两个问题单独分开研究，学生答题正确率较放一起研究解答要高。一线教师不免纳闷，难道出现了“两只钟表”现象？可事实就那么冷冰冰的摆在那里。对此，笔者在教学实践中采用了“一一对应”+“简单示图”来反映思维的逻辑渐进演绎过程，收到了满意的教学效果。

一、明确相关信息及问题所求

二、引导思考，提出方案

（教师）作为数学问题，我们用数学方法加以研究，同学们认为吨油菜籽经历怎样的变化可以变为1吨呢？学生主要提出了三种想法和方案：（方案一）在原有基础上增加吨油菜籽；（方案二）用放大法将吨油菜籽扩大到它的倍；（方案三）将吨油菜籽除以，…

三、方案可行性研讨

方案一：在原有基础上增加吨油菜籽

增加的吨油菜籽是吨油菜籽的，吨油菜籽对应可榨出吨菜籽油的，因而1吨油菜籽可以榨油+×=（吨）。曲径通幽，教师此时沉浸在学生这种严整的逻辑推演的喜悅中。

方案二：放大法，示图反映思维过程如下：

将左侧原料油菜籽的吨油菜籽×放大到1吨，那么榨出的菜籽油对应的增加到吨菜籽油的倍，列式为×=（吨）。

方案三：将 吨油菜籽除以

经历了方案二的示图推演过程，学生一个个受到启发，早已急不可耐地灵动起来。

学生给出的解答依据显得格外的理直气壮，左侧的油菜籽经历 ÷的运算过程可以变化为1吨，那1吨油菜籽自然对应可榨出÷=×=（吨）。

四、回望梳理，寻找联系

（教师）三种方案都能有效解决“1吨油菜籽可以榨出多少吨菜籽油”的问题，三种方案之间是否存在某种联系呢？

方案一的解答式+×，运用乘法分配律可以转而变形为×（1+）= ×，即方案二的解答式；而方案三的解答式与方案二的融合相通早已在探研过程中得到体现。行云至此，课室内掌声响起，不约而同，为数学活动的畅快，为数学魅力折服，也为跳动的思维绽放的异彩。

五、解法优选，迁移固化

教师趁着思维的热度向学生发起追问，你认为问题（2）能否参照问题（1）的解决方案进行，你觉得哪种方案最简洁？调查数据表明方案三为绝大多数学生认可。在此基础上，教师又补充了一道训练题：在一次汽车质量检测中，一辆小汽车行驶了千米，耗油升。请问：（1）1升汽油可支持这辆小汽车行驶多少千米？（2）这辆小汽车行驶1千米大约需要耗费多少升汽油？明白了算理算法的学生行动特别迅速，满脸自信、从容。

六、两点思考与启示

1.类似这样的实际问题一方面通过逆向思维训练，可以很好地培养学生定向研究和有效思辨的思维习惯和学习品质，极大地活跃和发散学生思维活动；另一方面，从纵深看这类问题是正比例函数的雏形和启蒙，一定程度上我们在为学生的后续学习蓄积感性认识材料，因此我们完全可以策应黄爱华老师提出的大问题教学观，将这类实际问题大胆前移到小数除法部分去，引导学生在探究中积淀，在经历中思考、感悟和升华。按照课程改革提出的前后连贯、一脉相承、螺旋上升，做好基础教育教学实践工作。

2.教学是慢的艺术，有人把基础教育比作“牵着蜗牛散步”的事业。在这类问题的探究实践中，教师借助“形”的直观和神韵有效沟通和推演数量之间的微妙联系与变化，引导学生用一一对应的数学思想方法逐层深入，一步步逼近和解开现象背后的真实。让学生体验到“寻寻觅觅，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的心路历程和绝美佳境。诚如华老所言：数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。用好数形结合、一一对应等核心数学思想方法、可以让我们的教学实践活动更好地服务于学生数学核心素养的形成、发展和提高。

参考文献：

[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京师范大学出版社，2012.

[2]教育部.义务教育教科书·教师教学用书六年级上册[S].人民教育出版社.