探究大学数学教法中的几个技巧

何川 赵文静

摘  要：教学是一门艺术。对于大学数学教学而言，一个好的教学效果，不仅是把数学知识、技巧讲的准确，而且要在讲授数学知识和技巧的过程中，注重培养学生的数学思维方式。在这些都做好的基础上，如果在教学的过程中还能教出数学的乐趣，那么会让学生发自内心地喜欢上数学。如何教出数学的乐趣？笔者以《概率论与数理统计》中的知识点为例，从“在思维中找乐趣”、“充分运用对比的手法备课”和“在应用中找乐趣”三个角度阐述如何教出数学的乐趣。

关键词：数学;艺术;应用

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2019）07-0079-03

Abstract： Teaching is an art. For college mathematics teaching， a good teaching effect is not only to accurately explain mathematical knowledge and skills， but also to pay attention to cultivating students' mathematical thinking mode in the process of teaching mathematical knowledge and skills. How to teach math for fun？ Taking the knowledge points in probability theory and mathematical statistics as an example， the author expounds how to teach the pleasure of mathematics from the three perspectives of "finding pleasure in thinking"， "making full use of the technique of contrast to prepare lessons" and "finding pleasure in application".

Keywords： mathematics; art; application

众所周知，兴趣是推动一个人求知的巨大内在力量。许多数学家之所以把毕生的精力奉献给数学，是因为他们在科研的过程中发现了学习和研究数学的乐趣。然而现实生活中的情况大多是：许多人一提到数学不但不觉得快乐，反而枯燥的感觉更多一些。前者在人群中只是一少部分，而后者却是绝大多数。因此一个好的教学效果不仅要教好学生数学知识和技巧，而且会在教授知识和技巧的过程中，教会学生如何去发现和感受数学的快乐。因为一旦学生发现了数学知识表面隐藏的内在乐趣之后，他自己就会主动的学习了，主动学习状态可能会让一个人受益终生。所以教出数学的乐趣是一个值得我们大学教师共同探讨的话题。

一、在思维中找乐趣

从某种意义上说，数学的真正精髓不在于数学知识和数学技巧的本身，而在于数学思维。这就如同歌唱中的乐感、打球中的球感、文学创作中的灵感一样。在大学数学教学中教会学生数学的思维方式要比讲授数学知识和技巧更为重要。我们知道许多数学专业课经常是逻辑推理，训练的是逻辑思维。那么我们不妨就在思维上入手，去发现数学教与学的乐趣。笔者总结有两种方式。一个是注重引导，一个是注重思维的跳跃性。

一个是注重引导。许多数学定理的证明是很长的，笔者认为在推导定理之前，先复习一下定理中涉及到的之前学过的知识是非常重要的一环，这就如同小说写作中前文埋下的伏笔。之后在整个推导过程中，在用到这些公式的地方不去直接讲，而是采用提问的方式，尽量让学生自己说出来下一步的解决方法。也就是说数学教师起到的是引导、启发的作用，而不是直接告诉学生结果。因为这个结果如果是学生主动说出来的，那么他便会有一种成就感，因为他经过了一个思维的过程。而且他也会对自己经过思考得出来的结论记忆持久。很多教师在教学过程中为了在有限的时间内讲更多的知识往往直接告诉结论，学生被动地去接受，忽略了这一点，那么恰恰就在这一点上让学生失去了感受数学快乐的机会。

一个是注重思维的跳跃性。如果说注重引导是让学生思维一步一步的前行，那么跳跃式的思维会让学生感觉到惊喜。例如，在《概率论与数理统计》的“线性回归分析”一节中，可以这样先这样介绍。“线性回归分析”也可简称为“线性分析”，为什么通常加上“回归”两个字？其实这是属于历史遗留问题，因为线性分析最初研究的是子女身高和父母身高的关系问题。这可时以直接提问学生：“父母身高比较高的家庭，一般情况下他们孩子的身高会不会比父母身高还要高？即所谓的青出于蓝而胜于蓝”？很多学生可能说“会”。正确答案是不会。对于这个结论就不要引导学生一步一步的思维了，而是直接给出答案，不会！学生可能会一惊！接下来他们就非常想知道为什么不会，然后教师再接着讲课，那么学生听课的兴趣就会大大地提高。所以教师在备课过程中，除了一步一步按逻辑推导之外，还要善于发现经过跳跃性的处理可以达到让学生惊喜的知识点。

二、运用“对比”的手法备课

中科院院士严加安先生在《科学与艺术有共性也有交融》一文中说：“科学和艺术都源于人类的社会和精神活动，在人类历史上是共济和互动的，共同谱写了人类灿烂的文明。在人类早期，还没有科学，只有技术和艺术，那时的技术和艺术是不可分的。”“后来随着社会生产力的发展和技术的进步，才逐步产生出科学，即知识体系，科学和艺术才逐步分化开来。”“科学与艺术的相互交融，首先指的是艺术的科学化和科学的艺术化。”[1]数学是科学的一个分支，既然科学和艺术有共性，那么从艺术的角度看待数学和数学教学，则别有一番意味，甚至可以带给我们很多数学教学中新的启示。笔者通过教学感悟最多的就是充分、灵活运用对比的手法。因为所有的艺术形式，比如绘画、歌唱、朗诵、舞蹈等等都有一个共性，那就是对比。例如绘画中色彩明与暗的对比，舞蹈中动作刚与柔的对比、快与慢的对比，歌唱中声部高与低的对比，朗诵中讲究抑扬顿挫也是这个道理。那么在教学中，充分、灵活运用对比的手法一定会使课堂教学充满活力。笔者总结大学数学教学中对比的手法包括如简单与难的对比、逻辑推导与计算的对比、专业內的角度与专业外的角度看问题对比等等。

1. 简单与难的对比，就是从内容的难易程度上，每节课的内容不要从始至终都难，也不要从始至终都简单。数学本身的难度是客观存在的，然而并非所有的知识都难、也有简单的知识。在教学中教师如何主观上将难的知识简单化、将浅的知识难度化，这就需要教师本人的二度创作。教师教学就像一位演员，演员演戏是根据剧本来演，教师教学是根据课本来教，然而一个好的演员是能根据自己的人生阅历对剧本的人物进行二度创作、让剧本中的人物生动鲜明的刻画出来，教师也一样，如果能将数学中抽象的知识、定理根据自己的感悟给出一个直观上的理解，那么就会把难的知识简单化，学生听课的效果就会好。反之，如果讲义中的内容简单，那么教师要对其细节根据自己所掌握到的知识深入进去，或者将表面的知识进行理论上的升华，这里包括横向的推广，或者纵向的延伸。这样深入浅出、一张一弛的教学方式，让学生的思维时而紧张、时而松弛，就不会出现整堂课知识太简单造成的索然无味，也不会出现整堂课太难造成的枯燥乏味。那么无论教师的状态、还是学生的状态都会充满活力。

2. 逻辑推导与计算的对比，就是在内容的安排顺序上，尽量安排逻辑推导与计算相间出现，尽量避免整节课都是逻辑推导，或者整节课都是计算。当推导完一个结论之后，安排一个与之相关的计算，这样的效果会好一些。整节课的理论推导过多，不仅让学生感觉抽象，而且还会让学生怀疑这么深的理论究竟在生活中有没有用。所以在内容的安排顺序上，尽量安排逻辑推导与计算相间出现。

3. 专业内的角度与专业外的角度看问题对比，就是许多数学专业中的知识、理论、方法在日常生活中也时有表现，如果教师能把日常生活中的现象与数学知识、理论、方法联系起来教学，那会大大地增加数学的美感和学习数学的乐趣。当然这需要教师在生活中养成善于思考的习惯，善于在生活中去发现数学。例如我国著名的统计学家许宝  曾对他的学生说：“当我们看到杨柳的摇曳或是小河流水的流动时，如果要把它们描述成是质点（或分子）集团的变换，那就只能而且必须抽象出‘拓扑变换’（即双向连续的一到一映射）的概念。这也说明作为描述空间形体最一般变换的几何学——拓扑学的产生是十分自然的、必然的。”如果当我们仰观天空看到亿多形状怪异、厚薄不匀的云彩时，设想采用Jordan量度法去度量它的体积，可以想见那显然是不可能得到精确结果的。而要想从理论上能精确无误地量出其体积，那就必须采用容许‘可数无限可加性’（所谓σ-可加性）的Lebesgue测度法。这样看来，人们为了发展无限精度的测量各种点集容积的技艺，Lebesgue测度论的出现也是很自然的事情。”[2]从上面的话中不难看出，许宝  先生并不只是在数学中研究数学，而且还善于在生活中发现数学。

在《概率论与数理统计》中有很多这样的知识可以采用这种方法处理。比如，在讲到抽样分布定理时，其中的一个结论是平均数与方差独立。这个结论的证明其实是很长的，作为讲义、书上的内容往往侧重于数学知识的逻辑性和严谨性。但在教学过程中，教师如果完全按照书上的知识去讲，那么就会令听者感到枯燥，即使听懂了、给人的感觉也很晦涩。所以在证明之前，如果用专业外、生活中看得见摸得着的例子给学生以直觉上的解释，那么就会让学生对这个定理感到很亲切、从而有进一步学习证明的想法。每个人经历不同，笔者根据自己的教学经验提出这样一种解释，仅供参考：虽然方差的表达式中含有平均数，看起来二者不独立。但是拿高考前多次模拟考试的成绩来说，平均数反应的是一个学生多次模拟考试得到的平均成绩，而方差反应的是多次考试中成绩的浮动大小、离散情况，也就是反应的是成绩稳不稳定的问题。我们观察一下身边的学生会发现，学习好的学生中有成绩稳定的、也有成绩不稳定的，而学习不好的学生中也有成绩总是稳定不好的，当然也有不稳定的、上下变化的。平均数大小取决于一个人的智商和后天努力，而方差取决于一个人的性格，所以平均数与方差是从两个不同的角度反映学生的学习状态，二者是独立的。从这个例子中看这个结论很显然，那么在数学中怎么证明平均数和方差独立呢？抛出问题后，接下来再给以证明，这样学生就会对数学推理比较感兴趣了。

无独有偶，我国著名诗人陆游也曾对他的儿子说：“汝果欲学诗，功夫在诗外。”中科院院士严加安在他的《科学与艺术有共性也有交融》中解释到：“这个诗外就是诗人对日常生活和大自然细致的观察、体验、感知，这是诗歌创作的源泉。作数学研究也与诗歌创作类似。”[1]数学史家克莱因认为：“对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉。”从中可以看出如果在数学教学中，教师加入对生活的思考，那么会使得数学课堂充满生机和活力。

三、在应用中找乐趣

许多歌唱家在接受采访时表示，他之所以选择演唱这首作品，首先一点是这首歌曲先打动他自己，然后他再通过自己的演绎去打动观众。所以要想让学生感觉到数学的快乐，对于教师，首先要从自己内心感觉到数学的快乐，然后再通过自己的教学，教出数学的乐趣来;对于学生来讲，如果一个知识不仅从道理上明白了，而且在现实应用中还亲身感受到了它给自己带来的变化，那么便会大大地激发学生学习的乐趣。笔者发现现在有相当一部分学生喜欢应用数学、不喜欢理论数学，原因之一是他在数学的应用中找到了乐趣。所以在教学过程中，教师要善于发现自己讲授的理论知识在现实生活中的巧妙应用。

在这里笔者以《概率论与数理统计》中的方差概念来举例说明，仅供参考。很多学生学习数学期望的性质还可以，相比起来，方差的性质就复杂一些。为了引起学生对方差理论的重视，可以这样引入：“在很多城市的商业街中都有地下通道、地下商场、或者地下停车场，细细观察会发现，地下商场和地上的步行街相比，它会起到冬暖夏凉的作用。比如在夏天，地上步行街很热、而地下商场却很凉快;而到了冬天，地上步行街很冷、而地下商场却比较温暖。这种现象和我们通常的认识不大一样，比如说现在全球气温变暖，现在的冬天和过去相比温度高，同样现在的夏天和过去相比温度也在升高。那么为什么地下商场会出现冬天温度高、夏天温度低呢？这种现象用数学的概念怎么描述呢？冬暖夏凉的现象在数学中看是怎么回事呢？”通过这个生活中的现象引出方差，告诉学生其实这个问题在概率论中看非常简单，就是地下商场冬夏温度的方差小，而地上冬夏的温度方差大。这就导致了冬天地上更冷、夏天地上更热的现象。那么方差都有哪些性质呢？这样引入之后，再推导方差的性质，学生听起来就会有兴致了。

除了教师备课时要注意理论知识的现实应用，在布置作业时注意这一点也会起到很好的效果。比如《概率论与数理统计》中”随机变量“的定义。自然界和人类社会中的随机现象成千上万不止，不可能一一去探讨。那么概率论是如何研究的呢？分类。首先把随机现象的结果和实数集对应起来，也就是建立一个映射，这个映射就是随机变量。那么以后再讨论问题，就可以避开各种随机现象的具体结果，而直接研究随机变量的取值了。随机变量类型很多，每一个类型的随机变量都对应着一大类自然界和人类社会的随机现象。比如说两点分布，凡是一个事件它的取值有两种可能性，比如说：生男生女、应聘成败、考试及不及格等等，都属于两点分布这种类型的随机变量。生活中凡是有两种结果的随机现象都可以用两点分布去描述。所以在教学中，除了教师在课堂上举的例子外，一定要布置一道作业，让学生列举一些自己生活的服从两点分布的随机变量，越生活化越好、越是身边的例子越好。其它各类型的随机变量也是一样布置作业，一定要让学生亲身感受到每一种类型的随机变量就是自己身边的某一类随机现象。这样一提到随机变量，展现在学生脑海中的就不再是枯燥的理论。所以在教学中除了理论之外，如果我们将自己生活中的接触到的事情及其感受融入到数学的教学中，那么教师带给学生的就不只是知识本身，可能带给学生更多的是学习数学的乐趣与动力，这些非智力因素虽然表面上看起来不明显，但是它对一个学生能否深入地学习往往会起到不可估量的作用。

数学是一门包罗万象的学科，每一个数学理论的背后都隐藏着学习数学的乐趣。对于同样的知识点，每个教师对其中内容的感受也是不同的，这个问题因人而异，因为每个人的人生经历不同，爱好不同、接触的环境不同。但这恰恰给数学教师提供了丰富的生活土壤，因为它让我们任何一个人都可以在自己的生活中找到数学的应用。笔者在这里谈了自己目前的认知，希望可以起到抛砖引玉的作用，互相交流，让我们在教学过程中，既教会了知识、又教出了乐趣。

参考文献：

[1]严加安.科学与艺术有共性也有交融[J].科学时报，2011-4-1（B1）.

[2]徐利治.回忆西南联大时代的老师许宝騄先生[J].道德文章垂范人間（纪念许宝  百年诞辰），2010.