向量在高中数学解题中的应用探究

周运龙

摘 要：向量是联系代数、几何等多方面数学知识的重要工具，也是高中数学重要的解题方法，研究向量在高中数学中的解题运用，对提升学生解题能力和发展学生数学核心素养具有重要价值。要运用向量解题，需要熟练掌握向量解题的方法，重视利用向量解题培养学生数学素养，才能发挥向量的教学价值。

关键词：向量;数学解题;应用方法

向量是具有“数”与“形”双重特点的重要解题工具，在高中数学教学中，加强对向量知识在解题中的运用教学，对提高学生解题能力和解题效率具有重要意义，同时向量解题方法的运用对发展学生数学核心素养有着重要作用，因此应加强向量在数学解题中的运用研究。

一、向量在高中数学解题中的应用价值

向量知识在高中数学解题中的应用有如下价值：一是能让学生理解数学与生活、数学与其它学科的联系。向量在现实生活中有着广泛的应用，在卫星定位、机器人设计与控制中有着重要运用，它是描述与研究物理学科中的力、位移、加速度等重要工具，对向量的运用能让学生体会到数学的价值;二是能更好地理解数形结合思想方法。

二、向量在高中数学解题中的应用策略

（一）掌握向量法解题的方法

要运用向量法解题，必须熟悉向量解题的基本方法，掌握了方法才能灵活运用向量进行解题。笔者在教学中，总结了向量法解题的两种基本方法：一是运用向量坐标法解题。运用该方法解题时，要注重依据图形特点来建立恰当的坐标系，然后依据建立的坐标进行数量问题的计算，就能使问题容易解决;二是运用向量几何法解题。

例1：在图1中，已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3，AD=4，AB=4，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，求：对角线AC1的长度是多少？

分析：通过对本题的分析可知，该题目既可用坐标法解题，也可用几何法解题。

（1）向量坐标法解题

可以选择底面AC和BD的交点为原点O，以OA为x轴、OB为y轴，以垂直于底面向上的直线为z轴建立空间坐标系，从已知条件知底面ABCD是菱形，容易求出坐标A（，0，0），由余弦定量可求出，可得出C1 点坐标是，因此容易计算出

（2）向量几何法解题

根据向量加法运算可得出，， ∴对角线AC1的长就是向量的模，∴，代入数值可得出，∴对角线AC1的长是9。

（二）利用向量知识培养数学核心素养

运用向量解决高中数学问题，使复杂的代数问题可用直观的几何方法解决，同时也使抽象的几何问题通过代数运算轻松解决，增强了解题的方法的多样性与创新性，有效地实现了数学学习模式从“知识理解”向“知识迁移”的过渡，进而能够提升学生的“应用创新”能力，而且在向量解题中能培养学生的抽象思维、逻辑推理、形象思维、数学运算等多方面的能力，能较好地实现了发展学生数学核心素养的目的。因此在向量知识教学中应注重把向量解题与核心素养培养结合起来。

向量在高中数学教材中分为平面向量和空间向量，向量解题的应用范围涵盖了代数问题（包括不等式、函数、复数、三角函数、数列）、平面几何、立体几何、解析几何等多个方面。而且运用向量解题非常简洁、方便、高效，具有清晰的解题思路和独特的解题优势，有效降低了数学解题的难度，提升了数学解题效率。

例2：已知椭圆的左右两个顶点分别是A、B，且长半轴的长与焦距相同，为椭圆的右准线。

求：（1）橢圆方程;（2）假设M点是右准线上的任意一点（不含（4，0）点），如果AM、BM两条直线和椭圆相交在P、Q两点（不含A、B两点），证明B点在以PQ为直径的圆内。

分析：（1）椭圆方程用代数知识容易求出为;

（2）在本小题中如果运用代数的方法进行证明，比较繁琐，而如果运用向量的方法就容易解决。可假设， ∵P 在椭圆上，∴， ∵P点不包含在A、B两点，∴，∵A、P、M三点共线，∴，∴，，∴，∵，∴，由此得出∠PBM是锐角，∴∠PBQ是钝角，∴B点在以PQ为直径的圆内。

在本题中要证明点B在以PQ为直径的圆内，也就是证明点B与圆的关系，关键是要把问题转化成证明∠PBQ是钝角（或∠PBM是锐角）的问题，进而转化成向量的数量积运算问题，然后根据不共线的三点A、B、C的向量数量积与角度之间的关系来判断角度大小。即根据 ←→ ∠ACB是直角， ←→ ∠ACB是锐角， ←→ ∠ACB是钝角。本题的求解还较好地体现了转化的数学思想方法，通过上述向量解题方法的运用，对发展学生数学核心素养有重要作用。

三、结束语

总之，向量作为高中数学解题的重要工具，对提升学生数学解题能力和发展学生数学核心素养具有重要价值，因此教师要加强对向量解题方法的教学，注重利用向量解题来培养学生的多种能力，才能更好地发挥向量知识的教学价值。

参考文献：

[1]康显平.向量在高中数学解题中的应用研究[J].好家长，2017（3）：19-19.

[2]杨亮.高中数学解题中向量方法的应用研究[J].高中数理化，2015（18）：10-10.