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向量在高中数学解题中的应用探究

2019-09-10周运龙

大众科学·中旬 2019年7期
关键词:数学解题应用方法向量

周运龙

摘 要:向量是联系代数、几何等多方面数学知识的重要工具,也是高中数学重要的解题方法,研究向量在高中数学中的解题运用,对提升学生解题能力和发展学生数学核心素养具有重要价值。要运用向量解题,需要熟练掌握向量解题的方法,重视利用向量解题培养学生数学素养,才能发挥向量的教学价值。

关键词:向量;数学解题;应用方法

向量是具有“数”与“形”双重特点的重要解题工具,在高中数学教学中,加强对向量知识在解题中的运用教学,对提高学生解题能力和解题效率具有重要意义,同时向量解题方法的运用对发展学生数学核心素养有着重要作用,因此应加强向量在数学解题中的运用研究。

一、向量在高中数学解题中的应用价值

向量知识在高中数学解题中的应用有如下价值:一是能让学生理解数学与生活、数学与其它学科的联系。向量在现实生活中有着广泛的应用,在卫星定位、机器人设计与控制中有着重要运用,它是描述与研究物理学科中的力、位移、加速度等重要工具,对向量的运用能让学生体会到数学的价值;二是能更好地理解数形结合思想方法。

二、向量在高中数学解题中的应用策略

(一)掌握向量法解题的方法

要运用向量法解题,必须熟悉向量解题的基本方法,掌握了方法才能灵活运用向量进行解题。笔者在教学中,总结了向量法解题的两种基本方法:一是运用向量坐标法解题。运用该方法解题时,要注重依据图形特点来建立恰当的坐标系,然后依据建立的坐标进行数量问题的计算,就能使问题容易解决;二是运用向量几何法解题。

例1:在图1中,已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=3,AD=4,AB=4,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,求:对角线AC1的长度是多少?

分析:通过对本题的分析可知,该题目既可用坐标法解题,也可用几何法解题。

(1)向量坐标法解题

可以选择底面AC和BD的交点为原点O,以OA为x轴、OB为y轴,以垂直于底面向上的直线为z轴建立空间坐标系,从已知条件知底面ABCD是菱形,容易求出坐标A(,0,0),由余弦定量可求出,可得出C1 点坐标是,因此容易计算出

(2)向量几何法解题

根据向量加法运算可得出,, ∴对角线AC1的长就是向量的模,∴,代入数值可得出,∴对角线AC1的长是9。

(二)利用向量知识培养数学核心素养

运用向量解决高中数学问题,使复杂的代数问题可用直观的几何方法解决,同时也使抽象的几何问题通过代数运算轻松解决,增强了解题的方法的多样性与创新性,有效地实现了数学学习模式从“知识理解”向“知识迁移”的过渡,进而能够提升学生的“应用创新”能力,而且在向量解题中能培养学生的抽象思维、逻辑推理、形象思维、数学运算等多方面的能力,能较好地实现了发展学生数学核心素养的目的。因此在向量知识教学中应注重把向量解题与核心素养培养结合起来。

向量在高中数学教材中分为平面向量和空间向量,向量解题的应用范围涵盖了代数问题(包括不等式、函数、复数、三角函数、数列)、平面几何、立体几何、解析几何等多个方面。而且运用向量解题非常简洁、方便、高效,具有清晰的解题思路和独特的解题优势,有效降低了数学解题的难度,提升了数学解题效率。

例2:已知椭圆的左右两个顶点分别是A、B,且长半轴的长与焦距相同,为椭圆的右准线。

求:(1)橢圆方程;(2)假设M点是右准线上的任意一点(不含(4,0)点),如果AM、BM两条直线和椭圆相交在P、Q两点(不含A、B两点),证明B点在以PQ为直径的圆内。

分析:(1)椭圆方程用代数知识容易求出为;

(2)在本小题中如果运用代数的方法进行证明,比较繁琐,而如果运用向量的方法就容易解决。可假设, ∵P 在椭圆上,∴, ∵P点不包含在A、B两点,∴,∵A、P、M三点共线,∴,∴,,∴,∵,∴,由此得出∠PBM是锐角,∴∠PBQ是钝角,∴B点在以PQ为直径的圆内。

在本题中要证明点B在以PQ为直径的圆内,也就是证明点B与圆的关系,关键是要把问题转化成证明∠PBQ是钝角(或∠PBM是锐角)的问题,进而转化成向量的数量积运算问题,然后根据不共线的三点A、B、C的向量数量积与角度之间的关系来判断角度大小。即根据 ←→ ∠ACB是直角, ←→ ∠ACB是锐角, ←→ ∠ACB是钝角。本题的求解还较好地体现了转化的数学思想方法,通过上述向量解题方法的运用,对发展学生数学核心素养有重要作用。

三、结束语

总之,向量作为高中数学解题的重要工具,对提升学生数学解题能力和发展学生数学核心素养具有重要价值,因此教师要加强对向量解题方法的教学,注重利用向量解题来培养学生的多种能力,才能更好地发挥向量知识的教学价值。

参考文献:

[1]康显平.向量在高中数学解题中的应用研究[J].好家长,2017(3):19-19.

[2]杨亮.高中数学解题中向量方法的应用研究[J].高中数理化,2015(18):10-10.

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