解三角形中的一类取值范围问题

徐娜

摘 要：解三角形问题是高考高频考点，有一类题目值得关注，即已知三角形的一条边a和边所对的角A，求b+c，bc，b2+c2三者的最值（或范围）。本文给出两个例题，对比几种解法的优劣。

关键词：解三角形;取值范围;正弦定理;余弦定理

解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，有一类题目值得关注。这类题有一个相同的特点，即已知三角形的一条边a和边所对的角A，求b+c，bc，b2+c2三者的最值（或范围），或者是求三角形面积（或周长）的最值（或范围）。

解决这类问题的处理方法主要有以下三种：

（1）利用余弦定理的变式：，配合基本不等式可得到b+c，bc，b2+c2的最值。

（2）在已知a，A的情况下，利用正弦定理求出2R（R为外接圆半径），再通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为关于角B（或角C）的函数，利用降幂公式，辅助角公式，从而将问题转化为求三角函数的值域（最值）。

（3）利用三角形的外接圆，固定已知的一条边，根据同弧所对的圆周角得，三角形的另一个顶点在圆周上运动，利用圆的对称性以及数形结合可求出取值范围。

下面给出例题，对比一下几种方法的优劣。

例1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，向量，且。

求角A;

求△ABC面积的取值范围。

解：（1）（略解）根据向量的垂直关系以及正弦定理，求出;

（2）法一：利用余弦定理和基本不等式：，当且仅当b=c等号成立;

所以，再根据三角形的面积公式即可求出.

法二：由正弦定理，

法三：如图1，利用三角形的外接圆，固定已知的一条边a，根据同弧所对的圆周角得，三角形的另一个顶点A在圆周上运动，画出图形，利用圆的对称性，在优弧的中点A'处，三角形面积有最大值，此时b=c即为等边三角形，可求出三角形的面积的最大值为;而当点A在圆周的左侧（左右对称）运动时，当点A无限趋近于点B时，此时面积趋近于0，从而可得取值范围.

例2.在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且滿足，若，则b2+c2的最大值是______.

解：根据正弦定理边角互化，以及余弦定理，求出;

法一：利用余弦定理和基本不等式

，当且仅当b=c等号成立;

所以，即的最大值是6.

法二：.又为锐角三角形，

∴解得.

由正弦定理，

∴

又，∴，当时，可得的最大值是6.

法三：如图2，利用三角形的外接圆，固定已知的一条边a，根据同弧所对的圆周角得，三角形的另一个顶点A在圆周上运动，画出图形，利用圆的对称性，在优弧的中点A'处，b2+c2有最大值，此时b=c即为等边三角形，可求出b2+c2的最大值为6.

变式：在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若，则的取值范围是______.

分析：变式将例2中“的最大值”，改成“的取值范围”。例2在法一中，利用基本不等式求出最大值，那么能否求另一端的范围呢？显然是不行的。所以这种方法具有局限性，只能用来求最值，不能求取值范围。法二中得到，又，∴，可得.法三中，当点A在圆周的左侧（左右对称）运动时（如图3），当点A趋近于点B时，在变大，由题意为锐角三角形，则考虑临界值，当时，易得，则，从而可得的取值范围为.

对比以上两个例题，例1，例2三个解法都可行，方法一和方法二适合解答题的解题步骤，虽繁琐但细腻，属于精细化的解法，而方法三利用数形结合，适用于选择填空题，比较快捷方便，更快得到答案;而变式中求取值范围，却不能用余弦定理和均值不等式的方法，这个方法有局限性，只能求最值（等号成立的条件下），求出一端的范围。所以我们在遇到这类问题时要明确目标正确选择解题方法，以免解错或用了繁琐的方法。

参考文献

[1]申宇杭，根据三角形的一边及其对角——求三角形周长及其面积的取值范围问题[J]，《中文科技期刊数据库（引文版）社会科学》，2018，11.

[2]任德辉，高中数学解三角形中的一类最值或范围问题的解法探究[J]，《读写算（教育教学研究）》，2014，（51）