离心率范围问题的求解策略

魏小林

摘 要：在高考中常常出现的确定圆锥曲线中离心率的取值范围问题，这类问题往往结构新颖，小巧灵珑，历来为命题者所青睐，为了克服难点，提高教学效果，培养学生的学习兴趣，诱导引发学生的学习兴趣，对这类问题的求解方法给一总结归纳。

关键词：数学教学；培养；中学数学；圆锥曲线；离心率；取值范围

确定圆锥曲线中离心率取值范围，是高考试题中常见的一类问题，需要综合运用各种基本知识和基本技能。如函数思想，一元二次不等式的知识，合理推理论证能力，以及数形结合，整体解题的数学思想。能够反映学生的综合数学素质，也符合新课程对数学教学和学生能力的要求。这类问题往往结构新颖，小巧灵珑，历来为命题者所青睐。针对这类问题的求解本文提供了一些常用的策略，供大家参考。

1、数形结合创建基本量的不等关系

例1、已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则该椭圆离心率的范围是

简析： ， ，所以点 在以 为圆心 为半径的圆上

点 在椭圆内部， ，从而有

，则 ，由 可知

点评：利用圆总在椭圆内部这一条件，数形结合，巧妙的建立起 、 的不等关系，是解题的关建。

2、利用焦点三角形构建不等关系

例2、双曲线 ）的两个焦点为 、 ，若 为其上一点，且 ，求该双曲线离心率的取值范围。

简析：由双曲线的定义可知： ，又 ， ，故 ， ，即 ，所以 ，由 可知

。

点评：利用焦点三角形两边长子之和大于第三边长，是建立基本不等关系的一种常用手段。

3、利用椭圆、双曲线的幾何性质，建立不等关系

例3、已知椭圆 为椭圆上一点，且 在 轴右侧， 为右顶点， 为原点，若 ，求该椭圆离心率的取值范围

简析：设点

又 点 在椭圆上，

，即

则 ，即 ，从而由 可知

点评：椭圆是个一个封闭曲线，椭圆上的点的坐标满足 ， ，利用 在 轴右侧，则 是构造不等式的核心和关键。

4、利用函数思想，通过求值域确定离心率的范围

例4、设 ，则双曲线 的离心率的取值范围是

简析：

，从而由 可知

点评：建立离心率 关于参数 的目标函数，通过求函数的值域，确定离心率的取值范围，体现了函数思想的灵活运用。

总之，在解析几何中，求解双曲线和椭圆的离心率取值范围的问题，其核心和关键是巧妙的建立基本量 、 、 的不等关系，进一步构造出离心率 的不等式，通过解不等式可以确定离心率的取值范围。

（作者单位：宝鸡中学数学组）