数无形时缺直觉，形无数时难入微

王家强

课堂上我布置一道来自于课外参考书《2013百题大过关第一关》的解析几何题目：

已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F2，则该双曲线的离心率为__________

拿到这题有学生们采用代数方法进行求解，如下：

设两曲线交于点，则

由韦达定理得：

由图形的对称性可得：两曲线的两交点A、B满足轴，，所以但后面的参考答案是用几何法进行解答，如下：

依题意得：

如图，由图形的对称性可得：两曲线的两交点A、B满足轴

对于双曲线来说，对抛物线来说，

学生们感到纳闷：我的解法错在哪里？于是，学生就拿这个问题来问老师我。

学生的解法在我的教学设计之外，但凭借多年的教学经验我不置可否。

我微笑地反问学生：

学生说：，故x1、x2异号，与矛盾！故这个解法是错误的。”

老师的点拔虽让学生知道了他的这个解法过程中是错误的地方，但学生心中一直有个疑惑：从方程算出来的，与图1中的呈现出来的结果竟然不一致？若x1代表点A、B的横坐标，则x2不是点B的坐标，，那x2究竟代表什么？

老师提醒说：“你不妨在复数范围考虑这个问题”。

于是，学生在复数范围内讨论这个问题。

根据图形的对称性，设

设x2是（*）方程的另一个根，由韦达定理得：，又抛物线与双曲线共焦点得：，代入上面两式，可得

，因而x2是个虚根。

两边同除以，得：

因为双曲线的离心率e>1，所以（舍去）

虽然用代数方法把答案求出来了，跟参考答案一样，但这个过程中伴随着另个离心率出现，不仅引起我的遐想：这个问题似乎跟椭圆还有一定关联！莫非虚根就是椭圆上，且它是椭圆和抛物线方程联立组成的方程组的实数根？同时，这个椭圆与双曲线有特别关系？

鼓励学生画出图2情形，紧锣密鼓地进行下列运算企图

验证自己的“发现”是正确的。

相对比可知：椭圆与抛物线的方程联立组成的方程的两个根恰好是双曲线与抛物线的方程联立组成的方程的两个根的相反数。

再回顾刚开始时的解法，学生发现用韦达定理得到是正确的，只是并非是点B的坐标，却误把它直接当成点B的坐标造成结果错误。这里的x2是个“虚根”！在图2中体现为“一对共顶点的椭圆和双曲線”中椭圆与抛物线的交点的横坐标，其中椭圆的离心率，双曲线的离心率。

解决本题时“虚根”虽给学生惹下很大的一个“祸”！（让自己把本题解错了），给学生带来暂时的、很大的困恼，但学生乐于迎接这样的挑战！我从中得到如下感悟：

（1）本题虽比较适合于用几何解法，数形结合较轻松，但代数解法却告诉了我：采用联立方程和韦达定理进行解题，要当心二元二次方程中虚根的存在，要进一步理解“以数解形”的完备性;

（2）用代数方法来解决这样问题可以很好开拓自己的视野，完备自己的知识，培养自己的创新思维。因为它站在系统的高度，很完美、较复杂，但散发着问题的本质，能深化我们对圆锥曲线是个统一体的本质理解;

（3）再次体验华罗庚的名言：“数无形时缺直觉，形无数时难入微”。今后我们在解数学题时应强化自己数形结合方法的应用意识。