浅析立几中点线、点面的距离问题

顾晶晶

摘 要：立体几何向来是高中数学中的一个重难点问题，也是备受关注的研究热点。本文主要论述的是立几当中点线或点面距离的几种求解思路及学习方法，以促进学生对此类问题逻辑思维能力和解题能力的提升。

关键词：立体几何;点线;点面;线线（线面）垂直

立体几何涵盖了作图能力、空间想象能力、逻辑思维能力和基本运算能力等。其中点到直线（或平面）距离问题常令学生头疼不已，作为工作十多年的数学老师也是看在眼里，急在心里。于是笔者对这类问题作了如下总结和研究，以期在今后的教学实践中起到更好的效果。

一、直接思路

（一）定义法

此法应用的前提是学生能够掌握住点线（点面）距离基本定义、会看图、能够运用基本定理等寻求或是证明线线垂直、线面垂直。

例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：（1）A1到AC1的距离

（2）C1到面ABB1A1的距离

分析：（1）中的问题是点到直线的距离，很明显我们希望涉及的三个点出现在同一个平面内，故连接A1C1，A1B，而A1BC1是以面对角线为边的正三角形，故转化为求此三角形BC1边上高的问题（线线垂直问题）。∴dA1-BC1=a

（2）∵C1B1⊥面ABB1A1，

∴C1B1长为点C1到面ABB1A1的距离，长度为a

注明：有时题目本身没有提供图形，则要自己认真、工整地画出立体图形，并区分好虚实线，再结合直观图来理解，才能顺利解题。

（二）性质法

例2正三棱锥P-ABC，已知侧棱长为2cm底面周长为3cm，求此棱锥的高。

分析：由性质知道顶点与底面中心的连线就是它的高，接下来的问题就是作辅助线解题。设底面中心为O，连接PO，则PO为正三棱锥P-ABC的高。再连接AO并延长交BC于E点，根据对称性关系可以知道AE⊥BC，∵底面周长为3cm∴BC=1，AE=，再据比例关系可得AO=AE=，而PO⊥底面ABC。∴在Rt△POA中：易得PO=，即为所求的高。

（三）定理法

例3：已知ABCD为矩形，AB=3，BC=4，且PA⊥面ABCD，PA=1。

求：（1）C点到面PAB的距离

（2）P点到直线BD的距离

分析：（1）∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC①

∵AB为PB在面ABCD中的射影，而在矩形中AB⊥BC

由三垂线定理得PB⊥BC②。故由①②得BC⊥面PAB

∴BC长即为所求C点到面PAB的距离，即为4。

（2）如果采用像例1（1）中连接PB，PD来构造一个平面是行不通的，因为PB≠PD。则只能添加另外的辅助线，过P作PE⊥BD，相对于面ABCD而言PE为其一条斜线，联想三垂线定理。故连线段AE，∵PA⊥面ABCD，∴AE为射影，∵PE⊥BD，∴AE⊥BD，则在Rt△BAD中，由面积相等法得：AE=12/5。∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AE。在Rt△PAE中，PE2=PA2+AE2，PE=13/5，即为所求P点到直线BD的距离。

间接思路（体积相等法）

例4、棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求B1点到面A1BC1的距离.

分析：显然B1A1，B1C1，B1B与面A1BC1皆非垂直关系，故定义法行不通，易判断B1-A1BC1为正三棱锥，而A1B1⊥面B1BC1，即将A1视为顶点，那么B1BC1就是它的底面，故可以从两个角度来表示出三棱錐B1-A1BC1的体积，设B1点到面A1BC1的距离为h，三角形A1BC1的边长为，三角形B1BC1的直角边长为a，面B1BC1上的高为a，代入体积关系式：

则，解得

用体积相等法来解题，其实与平面几何中的面积相等法有着异曲同工之妙。

点到直线（或平面）距离问题是高中数学的重要内容之一，虽然题型多变，但万变不离其宗。以上是我对这类知识点的一些理解和感悟，希望同学们在今后这类问题学习中多思考、多归纳、多总结，从而带来事半功倍的效果。

参考文献

[1]徐明杰.浅谈空间想象能力的培养[J].数学通报.2005，（6）

[2]侯庆盛.谈谈点面距离的求解策略[J].数学教学研究.2002，（4）