模式观下数学探究的理论与实践

摘要：以一道平面几何题的解答与推广为例，论述模式观下数学探究的理论与实践。数学教育的重要方式就是引导学生进行数学探究：像数学家研究数学一样，探索个别问题背后蕴含的普遍模式（知识），并基于模式相似性去分析问题、解决问题、发现问题和提出问题;特别强调“做数学”的过程以及在过程中努力寻找揭示问题本质的模式和进一步解决或提出新的问题。

关键词：模式观数学探究模式相似性一题多变

结果基于过程。从过程的角度来看，数学是一种探索、研究，目的在于揭露隐藏在现象背后的规则。在新课标理念下，数学教育的重要方式就是引导学生进行数学探究（重要目标就是培养学生的数学探究能力）：像数学家研究数学一样，探索个别问题背后蕴含的普遍模式（知识），并基于模式相似性去分析问题、解决问题、发现问题和提出问题;特别强调“做数学”的过程以及在过程中努力寻找揭示问题本质的模式和进一步解决或提出新的问题。

针对许多教师不知如何开展数学探究教学，笔者曾（2018）以一道平面几何题为例，给出数学探究的一个基本模型。下面，笔者再以一道平面几何题的解答与推广为例，论述模式观下数学探究的理论与实践。

一、数学是模式的科学

无论是数学中的概念和命题，或是问题和方法，都应被看成是一种具有普遍意义的模式。数学的本质特征就是在对模式化的个体做抽象的过程中对模式进行研究。许多数学家关心的就是找到新的模式，分析这些模式，建构法则以描述它们并进一步研究它们。不管是研究存在于现实世界和人类经验各方面的各种模式，诠释各种模式的意义，或是发现、创造类似已知模式的新模式，都是在增加数学的内容。

作为模式的科学，数学的意义则是通过一个领域中模式与其他领域中模式的联系程度来衡量的。最具解释力的精巧模式就是最深刻的结果，它们构成了所有数学分支的基础。找到与诠释这样的模式并使它发生意义，是数学家孜孜以求的目标。数学家总是努力去发现那些具有广泛应用和深刻反映现实世界某一方面的结构或模式，总是不断地将一类模式与另一类模式联系起来，产生新的模式。数学就是按照自身的逻辑，从科学的模式开始，通过添加由此派生的所有模式而结束。

数学模式是数学抽象思维的产物。当直觉和未经分析的经验表明在许多不同的背景下存在着共同的结构特征时，数学家就有了任务：以精确和客观的形式系统地阐明基本的结构特征，将这种结构以模式的形式发掘出来。数学的发展在很大程度上就是利用经验和直觉的洞察力去发现合适的形式结构。不管在什么样的数学工作中，如果某种模式重复出现，则其中必有某种意义。而我们应该研究它为什么会发生，掌握其中心思想。

数学家德夫林指出：“对于大多数外行人来说，做数学意味着学会一大堆毫无联系的规则和技巧来解答各类问题。当遇到一位数学家对你说：‘噢，这很明显，你这样做，再这样做，然后答案就这样出来了。’一般人一定会以为，做数学需要一个特殊的脑袋。事实上并非如此，使数学家在这种情况下知道该怎么做的主要原因是他们看到了针对问题领域的一種潜在结构。如果你能看出这种结构，你会很清楚下一步该做什么。”这种“结构”其实就是模式，而且这种“结构”常常又可以启发新的模式，产生模式的模式。学习和研究数学必须具备识别模式、鉴赏模式、发现模式、建立模式、拓展模式和应用模式的能力，沉浸于模式的魅力、获得与逻辑分类中。

二、基于模式相似性的数学探究

数学是一个有机的、统一的整体，数学的理论、方法和问题之间总是有着千丝万缕的联系。从表面上看，数学的领域千差万别，但是，不同的领域常常体现出惊人的模式相似性。数学规律是寓于模式相似性之中的，数学的独创很大程度上在于发现不同领域之间的联系或相似之处。

数学家要有发现这种联系或相似性的眼光和直觉。正如泛函分析的创始人之一S.巴拿赫指出的：“一个人是数学家，那是因为他善于发现判断之间的类似;如果他能判明论证之间的类似，他就是一个优秀的数学家;要是他竟识破理论之间的类似，他就成为杰出的数学家。可是我认为还应当有这样的数学家，他能够洞察类似之类似。”

数学史上很多令人感到心满意足的时刻，都是因为发现两个一直以来认为是疏远而不相关的领域，根本上却是同一样东西的不同面貌。苏联著名数学家D.莫达克海波尔托夫指出：“数学思维的才能在于有无智慧的敏锐性。”所谓“智慧的敏锐性”，就是指发现两个看似不相联系的问题之间的模式相似性的一种能力，把两个不相联系的思想领域内的一些概念“纳入统一观点”的一种能力，从已知事物中发现有什么相似之处的一种能力，以及在一些关系疏远的领域或十分复杂的对象中找出有什么相似之处的一种能力。

数学探究要善于基于问题的结构或模式寻求问题和方法之间的联系或相似性，尤其要善于基于问题的模式不断地将类似的问题联系起来，进行推广和提出新的问题。正如笛卡儿指出的：“当我们已经直观地弄懂了几个简单的定理的时候……如果能通过连续的思考活动，把这几个定理贯穿起来，悟出它们之间的相互关系，并能同时尽可能多地、明确地想象出其中的几个，那将是很有益的。”菲尔兹奖和沃尔夫奖得主丘成桐院士指出：“数学家证明了不同而又重要的定理，这些定理可能都有它们的重要性，但真正成为一个数学主流的学问，必须将这些定理整合起来，成为一个有完整哲学思维做背景的理论，这种学问才会有价值，影响深入，能够流传后世。”这里的“把这几个定理贯穿起来”和“将这些定理整合起来”，在很大程度上需要基于问题（定理）的模式不断地将类似的问题（定理）联系起来。

当然，发现问题隐藏的结构与模式，发现不同问题之间的内在联系或相似性，常常是很不容易的。实践中，研究的对象如果彼此过分相似，它们的推广就稍欠情趣;但是，如果彼此面貌迥异，则只要可以辨认出它们共同的性质，推广就非常有价值，常常能得到更深刻的数学命题。

三、基于模式相似性的数学探究案例

问题已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，在∠BAC所对的弧BC上任取一点D，连结AD、BD、CD。如图1，若∠BAC=120°，那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么？

解：由题意可得∠ADB=∠ADC=30°。如图2，过点A分别向∠BDC两边作垂线，垂足分别为E、F，则AE=AF，DE=DF。在Rt△AEB和Rt△AFC中，AB=AC，

AE=AF，则△AEB≌△AFC（HL），则EB=FC，则BD+CD=2DE=3AD。

这道题本质上是一道“四点共圆背景下角平分线上线段和角两边上线段的关系”的问题。普通学生不难想到上述“过角平分线上的点向两边作垂线段，找三角形全等，进而找线段相等，最终利用直角三角形中的边角关系”的解法。但是，许多学生常常只是解完题目就结束了，不会去深入挖掘问题中隐藏的深层次的东西，从而难以发现本题与其他题目的联系。显然，这样的过程只是简单地就题解题，而不是深入的数学探究，不能充分地提升数学素养。

对此，教师可以引导学生将该问题一般化，并寻求另外的“基于旋转变换将相关线段集中到一个三角形中”的解法（几何变换的工具价值还未得到师生足够的重视）：

一般化问题如图1，若∠BAC=α，那么BD+CD與AD之间的数量关系是什么？

解：如图3，作∠EAD=∠BAC=α，AE交DB的延长线于点E，则∠EAB=∠DAC。由四点共圆定理，知∠EBA=∠DCA。在△EAB和△DAC中，∠EAB=∠DAC，

AB=AC，

∠EBA=∠DCA，则△EAB≌△DAC（ASA），则BE=CD，AE=AD。过点A作AF⊥DE于点F，则∠FAD=α2，则BD+CD=BD+BE=DE=2DF=2ADsinα2。

仔细分析上述两个问题，可以发现它们具有相似的模式，即解决它们用到的关键条件是：（1）A、B、C、D 四点共圆（即∠BAC+∠BDC=180°）;（2）AD是∠BDC的平分线。于是，教师还可以进一步引导学生探究：

如果去掉原问题中圆这个条件，保留与之等价的对角互补条件，经过改编就可以得到如下拓展问题1。

拓展问题1如图4，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，那么OD+OE与OC之间的数量关系是什么？

运用模式相似性，可以类比原问题得到如下两种解法。

解法1：如图5，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N，则CM=CN，OM=ON。又∠AOB=90°，则四边形OMCN为正方形。由∠AOB=∠DCE=90°，可知O、D、C、E四点共圆。又OC平分∠AOB，则CD=CE。在Rt△MCD和Rt△NCE中，CM=CN，

CD=CE，则△MCD≌△NCE（HL），则MD=NE，则OD+OE=2OM=2OC。

解法2：如图6，过点C作CF⊥OC，交OB于点F，则∠ECF=∠DCO，∠EFC=∠DOC=45°，CF=CO，则△ECF≌△DCO（ASA），则EF=OD，则OD+OE=EF+OE=OF=2OC。

如果让∠DCE的一边与AO或BO的延长线相交，又可以得到如下变式拓展问题1。

变式拓展问题1如图7，∠AOB=∠DCE=90°，点D在AO的延长线上，点E在BO上，OC平分∠AOB，那么OD、OE与OC之间的数量关系是什么？

基于模式相似性，不难得到两种与拓展问题1一样的解法（如图8和图9），可以求得OE-OD=2OC（过程省略）。

如果进一步将∠AOB=∠DCE=90°这个条件换成其他“四点共圆”的条件，又可以得到如下拓展问题2。

拓展问题2如图10，∠AOB=120°，∠DCE=60°，OC平分∠AOB，那么OD+OE与OC之间的数量关系是什么？

基于模式相似性，类比拓展问题1，同样可以得到两种解法（如图11和图12），可以求得OD+OE=OC（过程省略）。

类比变式拓展问题1，如果让∠DCE的一边与AO或BO的延长线相交，又可以得到如下变式拓展问题2。

变式拓展问题2如图13，∠AOB=120°，∠DCE=60°，点D在AO上，点E在BO的延长线上，OC平分∠AOB，那么OD、OE与OC之间的数量关系是什么？

基于模式相似性，不难得到两种与拓展问题2一样的解法（如图14和图15），可以求得OD-OE=OC（过程省略）。

如果进一步把条件一般化，令∠AOB=2α，∠DCE=180°-2α，又可以得到如下拓展问题3。

拓展问题3如图16，∠AOB=2α，∠DCE=180°-2α，OC平分∠AOB，那么OD+OE与OC之间的数量关系是什么？

基于模式相似性，类似地，不难得到两种解法（如图17和图18），可以求得OD+OE=2OCcos α（过程省略）。

如果让∠DCE的一边与AO或BO的延长线相交，又可以得到如下变式拓展问题3。

变式拓展问题3如图19，∠AOB=2α，∠DCE=180°-2α，点D在AO上，点E在BO的延长线上，OC平分∠AOB，那么OD、OE与OC之间的数量关系是什么？

基于模式相似性，类似地，不唯得到两种解法（如图20和图21），可以求得OD-OE=2OCcos α（过程省略）。

四、教学启示与建议

以上我们运用模式相似性，从特殊到一般、从“四点共圆”到“对角互补”，基于一个问题及其解答，不断地提出新的问题及其解答。这正是数学家从事数学研究的一种基本策略与方法，关键是要看出反映问题本质的那个内在的而且常常是隐藏的“模式”。数学试题成千上万，我们不可能把它们一一做完。但许多数学问题，无论是题设、结论，还是整体结构、直观图像或解题方法，都表现出或隐含着某种数学模式。善于观察、识别和捕捉这些模式特征，往往可以迅速地获得问题解决的途径;而且，常常可以基于模式相似性，发现不同问题之间内在的关联，并由此推广原有命题和提出新的问题。当然，这需要一定的数学直觉和天赋，但也是可以教育和培养的。

以模式的观念指导数学探究，使师生有可能更加自觉地关注并研究数学问题中蕴含的模式的各个侧面，特别是模式的结构特征、模式的发现和建立过程，这对发现问题之间的联系、选择思维的方向具有很大的启发性。在数学探究教学中，教师要善于引导学生基于模式相似性，发现数学问题与方法之间的联系，寻找特殊问题和一般结果之间、一个问题和另一个问题之间貌似无关但实际上相互联系的关系，进而推广原有命题和提出新的问题。只要教师经常有意识地引导学生这样观察和分析问题，学生就能潜移默化地受到熏陶，学会这种基于模式相似性的数学探究。

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