促进数学深度学习的课堂教学策略

姜鸿雁

摘要：将初三一轮复习课《尺规作图》的教学思路定位在：学生在适当的问题情境中，完成作图任务并说出依据;在思考依据的过程中，从作图的视角整合知识体系并发展逻辑推理能力，培育理性精神。由此获得对促进数学深度学习的课堂教学策略的认识：聚焦数学核心素养是数学深度学习的重要目标;在联想迁移中应用创新是数学深度学习的重要标志;找准学生的“最近发展区”是数学深度学习的重要保障。

关键词：深度学习核心素养高阶思维最近发展区尺规作图

在深度学习理论的指引下，积极为学生创造深度学习的条件，引领学生经历深度学习的过程，有助于学生核心素养的培养。下面，以初三一轮复习课《尺规作图》为例，谈谈笔者对促进数学深度学习的课堂教学策略的认识，期待交流。

一、备课时的思考

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对尺规作图教学明确提出如下要求：学生不仅要知道作图的步骤，而且要知道实施这些步骤的依据。但由于各级各类考试考查的主要是几个常见的基本作图，多数教师便认为，尺规作图这一基本技能不是教学的难点。又由于要“赶”教学进度等诸多因素，许多教师便把尺规作图教学的重点放在示范作图步骤，让学生按部就班地模仿，通过多次練习记住步骤、作出图形;至于实施作图步骤的依据，往往匆匆带过。所以，很多学生对尺规作图的学习是“会作图”而“不会说理”，即“知其然”而“不知其所以然”，更谈不上“何以知其所以然”的模仿、记忆式浅层学习。

学生在不同时期，思考的广度与深度是不一样的。到初三一轮复习阶段，学生已经完成初中学段的基本知识的学习，具备一定的推理能力。综合各种因素，笔者把本节课的教学思路定位在：学生在适当的问题情境（具体如下）中，完成作图任务并说出依据;在思考依据的过程中，从作图的视角整合知识体系并发展逻辑推理能力，培育理性精神。

（2016年无锡市中考数学卷第22题）如图1，OA=2，以点A为圆心、1为半径画⊙A，与OA的延长线交于点C，过点A画OA的垂线，与⊙A的一个交点为B，连接BC。

（1）线段BC的长等于。

（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题。

①以点为圆心、线段的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于6;

②连接OD，在OD上画出点P，使OP的长等于263。请写出画法并说明理由。

二、主要教学环节实录

[学生完成上述问题第（2）问第①小问之后——]

师作线段AD=BC=2是基本尺规作图：作一条线段等于已知线段。我们学过五个基本作图，你知道其他四个分别是什么吗？

生作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线。

师还有另外两个呢？

生应该有作一个角等于已知角吧，因为刚刚说过作一条线段等于已知线段。

生过一点作已知直线的垂线，恰好题目提到，有点回忆起来了。

师还记得作一个角等于已知角的步骤吗？

（学生作一个角等于已知角，痕迹如图2。）

师为什么∠EDF=∠AOB？

生（惊讶）从来没想过。

生（遗憾）已经忘记了。

师回顾一下作图过程，应该能给我们启示。

生（兴奋）用“SSS”证明△EDF≌△AOB，可得∠EDF=∠AOB。

师不错哦。原来作图步骤中藏着如此秘密。还有其他证明方法吗？再审视作图过程。

生在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等。

师很好！已知直线l和直线l外一点P，用不带刻度的直尺和圆规作直线m，使它经过点P且平行于直线l。

（学生运用“同位角相等，两直线平行”或“内错角相等，两直线平行”，通过作一个角等于已知角，解决问题。）

师继续思考：作已知线段的垂直平分线的依据是什么？

生三角形全等的判定定理与性质定理。

生证得三角形全等后，利用“三线合一”也可以。

生到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

生菱形的对角线互相垂直平分。

师深入思考之下，原来作图的依据这么丰富、有趣。（稍停）作已知角的平分线的依据呢？

……

师我们已经知道，过直线上一点作已知直线的垂线可以转化为作平角的平分线，那么，过直线外一点作已知直线的垂线该如何进行？作图的依据是什么？

生（作图，痕迹如图3）到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

师知道作图依据，有助于理解作图过程，也不易遗忘。还有其他作法吗？

生（作图，痕迹如图4）依据是直径所对的圆周角是直角。

师你是怎么想到的？

生刚才作一个角等于已知角时，有同学用圆的知识说明作图步骤，所以我联想到直径所对的圆周角是直角，就想到了这种作法。

师由同伴的思路启发自己的灵感，很好！还有不同的作法吗？

生（作图，痕迹如图5）依据是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

生还可以用“SSS”证明△APB≌△AQB，得到∠PAB=∠QAB;由等腰△APQ中的“三线合一”证得垂直。

师虽然图中似乎没有你所说的三角形，但这些三角形都已经在你心中了，很棒！

生（作图，痕迹如图6）依据是“三线合一”。刚才他说到“三线合一”，我就想到了这个方法，好像还挺简单的。

师太好了！受他人的启发，产生新的作图方法。为你的创新点赞！

生（作图，痕迹如图7）既然我们已经会过直线上一点作已知直线的垂线，那么，可以转化为过直线上一点作已知直线的垂线;然后结合前面讲的平行线作法，再作平行线。就是有点复杂了。

生那也可以这样作。（作图，痕迹如图8）依据是先转化为作已知直线上一条线段的垂直平分線，再过直线外一点作垂直平分线的平行线。

师虽然后面两种作法有点复杂，但这种以理性思维支撑，化陌生为熟悉，在应用中创新的思考，弥足珍贵！（稍停）让我们带着理性思维完成下一个挑战：本题的最后一问。

（学生尝试解答。）

生要使OP的长等于263，说明点P满足OPOD=OAOC=23，则AP一定平行于CD。（作图，痕迹如图9）所以，连接CD，过点A作CD的平行线，交OD于点P。

师“过点A作CD的平行线”，他的作图依据是——

生同位角相等，两直线平行。

生当OP的长等于263时，OPOA=OAOD=63，∠O=∠O，则有△AOP∽△DOA，所以∠OPA=∠OAD=90°。（作图，痕迹如图10）所以，过点A作OD的垂线，垂足为点P。

师“过点A作OD的垂线”，他的作图依据是——

生（齐）“三线合一”。

生（惊叹）这说明CD⊥OD。

师为自己的发现去论证吧，课后可以继续思考还没有没其他作图方法。下课！

三、对促进数学深度学习的课堂教学策略的几点思考

（一）聚焦数学核心素养是数学深度学习的重要目标

郭华教授提出，在教师的引领下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心地积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程就是深度学习的过程;学生在这个过程中，能掌握学科的核心知识，理解学科的学习过程，把握学科的本质及思想方法，形成积极的态度、正确的价值观，成为既具独立性、批判性、创造性，又有合作精神的未来社会的主人。由此，数学深度学习有助于培养数学核心素养——具有数学基本特征、适应个人终身发展与社会发展需要的思维品质与关键能力，主要包括数学抽象、逻辑推理、数学模型。

本节课中，是什么让学生“全身心积极参与”学习活动？是逻辑推理的魅力！作图方法背后的逻辑推理（包括合情推理、演绎推理，综合法、分析法、反证法等）推动学生在交流、碰撞中经历分析、评价、迁移、整合、思辨与创新的过程，享受理性思维的快乐。以“过直线外一点作已知直线的垂线”这一教学环节为例，第一位学生不仅记得作法，而且明白理由，流露出释然之情;第二位学生由“此圆”联想到“彼圆”，充满了喜悦之色;第四位学生用全等三角形的判定与性质以及“三线合一”说明第三位学生的作法，启发了第五位学生的另一种作法，引发了内在的成功体验;第六、七两位学生的作法虽然有点复杂，但是体现了理性思维支撑，化陌生为熟悉，在应用中创新的思考。而对于问题情境中的最后一问，两位学生能够比较快地运用不同的方法解决，正是得益于找到了思维的支撑点，即“以理驭作”。

（二）在联想迁移中应用创新是数学深度学习的重要标志

深度学习是一个复杂的过程。简单地说，深度学习是在“沉浸的情绪”中进行“层进式的学习”。如果学生在教师的引导下，积极投入当前的学习活动，联想、激活以往的经验、知识，对学习内容进行迁移、整合，建构自己的知识体系，在应用与创新中解决问题，我们便可认为，深度学习发生了。

本节课中，学生在问题情境中，在教师的启发与追问下，从单纯的基于记忆的知识内容回顾上升至基于理解的知识体系重组。比如，学生对实施作图步骤的依据或没想过，或遗忘了，教师便通过“回顾一下作图过程……”引领学生从解决问题的过程中汲取并加工信息，使学习过程从“记忆”走向“分析”;学生说出作图过程中隐含的三角形全等的条件，是对作图过程的自觉“评价”;学生在用三角形全等说明作图依据的启发下，逐步联想到用圆、菱形、线段垂直平分线等相关图形的性质说明作图的依据，是对知识的“迁移与整合”;学生运用作一个角等于已知角，解决过直线外一点作已知直线的平行线，是对知识的“应用”;反过来，随着多方位知识的调动与重组，又促进了作图方法的不断“创新”。思维能力就在把握数学知识的本质联系的过程中逐渐提升。

（三）找准学生的“最近发展区”是数学深度学习的重要保障

深度学习理论提出的“学生围绕着具有挑战性的学习主题进行学习”的思想源自苏联教育心理学家维果茨基提出的“最近发展区”理论。指向深度学习的教学应是能促进学生从知识本位学习到知识本质学习的教学，实际上也是一种“最近发展区”内的教学。因此，找准学生的“最近发展区”，是促进学生深度学习的重要保障。教师在教学之前必须明确：教学内容在课标中的教学要求是什么？在学生的脑袋里，什么是已有的？什么是模糊的？什么是需要潜在发展的？教师设计的教学材料要能在学生完成一个个任务时，激活“已有的东西”，明晰“模糊的东西”，并发展“潜在的东西”发展。

本节课中，笔者选择的教学材料是2016年无锡市中考数学卷第22题。从尺规作图的角度看，本题始于作一条线段等于已知线段，这便是学生“已有的东西”;而题目的表述给了学生一些提示（过一点作已知直线的垂线），可以促进学生类比迁移，明晰“模糊的东西”;更重要的是，本题一改尺规作图的常见考查方式，从注重基本技能转变为兼顾基本技能和推理能力，要求学生不仅知道“怎么作图”，而且明白“为什么这么作图”，这正是学生需要发展的“潜在的东西”。所以笔者认为，本题是能够较好地反映学生当下“最近发展区”的教学材料。从教学实践中可以看出，学生能在已有的积淀下，借助题目表述中的提示，产生线段到角的迁移，回忆出五种基本的尺规作图，让模糊的知识点清晰，使零散的知识点整合。更重要的是，知识点清晰、整合的过程是学生在适当的问题情境下自我清晰、整合的过程，是从知识本位转向知识本质的学习过程。

总之，教师要培养学生的核心素养作为教学目标，把培养学生的高阶思维作为教学主线，在课前充分了解学生的学习状态，充分挖掘数学的育人资源，找准课堂教学的切入点，精心设计教学内容，营造课堂氛围，促进学生的深度学习。本节课中，学生完成了数学知识的自我整合，经历了思维方法的自我批判，实现了解决问题的自我创新;更重要的是，在思辨、质疑的过程中，发展了思维的深刻性与广阔性。所以，本节课复习的基本技能虽然只有一个，但与之有关的基本知识却有一定的广度;解决的问题虽然没有太大的难度，但与之有关的思维过程却有一定的深度。

参考文献：

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[5] 孙学东，周建勋.数学“深度学习”是什么？常态课堂如何可为？[J].中学数学教学参考（中旬），2017（5）.