高中数学“隐圆”问题的类型与解释

汪生 余建国

摘要：“隐圆”（满足一定条件的动点轨迹是圆或圆弧）问题的常见类型有“到两定点距离之比为定值”“到两定点距离的平方和为定值”“对两定点的张角为定值”“到两定点向量的数量积为定值”“到两定直线距离的平方和为定值”。从代数和几何两个角度解释，分别指向圆的标准方程和圆的原始定义（或基本性质）。由此得到教学启示：一方面，要引导学生发散思考、联系比较，进行多元表征，提升认知结构的清晰度以及思维的灵活性;另一方面，要引导学生集中分析、整合抽象，挖掘数学本质，提升认知结构的概括度以及思维的深刻性。

关键词：“隐圆”问题多元表征数学本质

二、教学启示

数学知识有很强的关联性和高度的统一性。因此，在教学中，我们一方面，要引导学生发散思考、联系比较，进行多元表征，不拘泥于眼前的“树木”，而关注到背后的“森林”，从而提升认知结构的清晰度以及思维的灵活性;另一方面，要引导学生集中分析、整合抽象，挖掘数学本质，包括识别内容属性和掌握思想方法，从而提升认知结构的概括度以及思维的深刻性，最终促进学习迁移（举一反三）。

（一）进行多元表征

数学知识的表征方式多种多样，比如符号表征、语言表征、图形表征、操作表征、情境表征等——当然，最重要的还是几何表征与代数表征。数学知识的联系和转化更是丰富多彩的。希尔伯特说过：数学宝藏是无穷无尽的，一个问题一旦解决，无数新的问题就会起而代之。G.波利亚说过：如果不变化问题，我们几乎不能有什么进展。因此，数学教学要求“变”，引导学生“向四周看一看”，寻找不同的表征形式，建立多元表征体系，把零散的内容（甚至看起来不太相关的内容）衔接起来、组织起来。例如，对两直线垂直，用斜率表征、用向量表征、用勾股定理表征。又如，对a+1a≥2（a>0）这一基本形式进行代数換元和几何转化，获得更多的结论，命制不同的问题。

（二）挖掘数学本质

虽然数学知识的表征方式多种多样，但是，数学知识的本质往往是统一的。多元表征是基础，统一本质是深入。在不同的表征方式中寻找内在的关联和线索，挖掘共同的本质属性，是“变中不变”哲学思想的体现。面对数学问题的“汪洋大海”，有时再多变化的表征，也只是“冰山一角”，而只有挖掘出不变的本质，才能“一览众山小”，更好地实现问题的联系和转化。因此，数学教学要求“通”，引导学生“向前面走一走”，寻找深层的数学本质，建立统一本质认识，把根本的属性挖掘出来、提炼出来。例如，对于“f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，设方程f（x）=0在区间（0，6）内根的个数为m，求m的最小值”这一问题，要深刻认识到函数周期性和奇偶性的本质，即解析定义和图像特征，才能顺利解决。

参考文献：

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[2] 刘密贵.登高远望好风景，圆角关系一线牵——《与圆有关的角》教学与思考[J].教育研究与评论（课堂观察），2019（3）.

[3] 任念兵.基于核心概念的高中“数学欣赏”教学再探——以《欣赏向量》为例谈“数学欣赏”的结构层次[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016（12）.

[4] 皮连生.教育心理学（第四版）[M].上海：上海教育出版社，2011.