例谈初中生数学逻辑推理能力的培养

周雪兵

摘要：基于2018年江苏省义务教育学生学业质量监测中主要考查逻辑推理能力的15个小题及6个师生问卷题的监测结果，对初中生数学逻辑推理能力的培养提出教学建议：充分发挥学生的想象力;放手让学生去体验;引导学生掌握逻辑推理的方法。

关键词：学业质量监测 逻辑推理能力 想象力 体验 推理方法

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的能力。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比;另一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。逻辑推理具体表现在两个方面：一是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果;二是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。逻辑推理能力从高到低可以分为A、B、C、D四个水平。

逻辑推理是数学关键能力的构成要素，是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质，对学生思维能力的培养具有重要作用。

2018年江苏省义务教育学生学业质量监测中，共设计了15个小题（下文提到的每一个试题都是其中之一，用字母与数字的组合进行编号）主要用以考查学生的逻辑推理能力。本文根据全省46262名八年级学生的测试成绩、问卷调查以及4573名数学教师的问卷调查得到的数据分析，对初中生数学逻辑推理能力的培养提出相应的教学建议。

一、充分发挥学生的想象力

想象力是创新的基础，对学生的终身发展至关重要。在课堂教学中，鼓励学生发挥自己的想象力，对逻辑推理能力的提高有很大的促进作用。本次测试中，试题M8AO061是以生活中平板电脑的放置为模型，要求学生想象成所学的平面几何图形，涉及三角形内外角关系的简单问题，但学生的平均得分率仅为84.9%，反映了学生空间想象力的欠缺。调查问卷中，我们设置了关于师生“进行尺规作图教学（学习尺规作图）时，让学生明白（老师让我们思考）如何作图、为什么这样作图”的问题，结果表明，部分教师的教学依然过于教条，限制了学生想象力的发挥，从而造成了有关作图的试题（如M8AS163）的平均得分率仅为53.4%的状况。

试题M8BS193小明和小莉玩搭火柴棒游戏。用3根、5根、7根火柴棒首尾依次相接，搭成一个三角形，如表1所示。

请回答下列问题：

（3）用18根火柴棒首尾依次相接，搭三角形，请你列出所有可能搭出的三角形三边火柴棒的根数。

本题主要用来测试学生“从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果”这一逻辑推理具体表现的水平状况。本题要求学生能从“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”出发，结合已知条件和示例，通过分类讨论，推断某些结果。能正确解答本题的学生在逻辑推理上处于A水平，具有知识创新的能力。本次测试中，本题的平均得分率为64%，数学总体能力处于A、B、C、D四个水平的学生在此题上的平均得分率分别为83.7%、53.5%、26.3%和6.1%。

本题典型的错误为三角形边长的重复、遗漏。访谈结果表明，部分学生审题后不能形成正确的想象，导致不能准确地画出图形。

想象力可以促使学生丰富自己的想象素材，扩大自己的知识范围;可以帮助学生对知识进行形象加工，形成正确的表象，从而内化为合情推理的能力。

培养学生想象力，课堂教学要关注以下三个方面：一是创设民主的氛围，引导学生主动发言，鼓励学生说出不同的見解。二是创设有利于学生想象的问题或情境，引导学生提出自己的想法，帮助学生进行深入的思考，从而促使学生的逻辑推理形式从无序到有序。三是鼓励学生的质疑精神，让学生通过质疑的方式来进行更多不同角度的思考与辨别，从而了解事物的不同侧面，理解知识的内在关联，促进思考发散与联结，更有效地开发逻辑思维能力。

二、放手让学生去体验

体验重在个体亲身经历，强调对事物直接感知，从而形成自己的经验。有效的教学应注重学生数学活动的体验过程，关注学生的情感生成过程。调查问卷中，我们设置了关于师生“进行较复杂的证明题教学时（对于较复杂的证明题），引导学生（老师让我们）先独立思考，再讨论交流”的问题，结果表明，在一些地区，存在灌输式教学的模式，剥夺了学生自我体验的过程。

试题M8AO041在如图1的方格纸中，下列结论正确的是（）

A. AD∥BCB. AE∥DF

C. BC∥EFD. AD∥EF

本题主要用来测试学生“从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果”这一逻辑推理具体表现的水平状况。本题要求学生能从“平行线的判定方法”出发，结合方格纸中格点的特征和对格点的已有经验进行合理推断。能正确解答本题的学生在逻辑推理上处于C及以上水平，具有知识理解的能力。本次测试中，本题的平均得分率为93.3%，数学总体能力处于A、B、C、D四个水平的学生在此题上的平均得分率分别为98.8%、95.6%、86.7%和55.4%。

访谈结果表明，部分学生对方格纸背景下平行线的判定方法了解不清，或对方格中蕴含的数学知识不理解。这反映了在实际教学过程中，部分教师对学生的课堂体验的推进不够。

在“平行线”教学过程中，方格纸是学生熟知的体验工具。教师要讲清方格纸中蕴含的数学知识，包括相等的线段、相等的角、全等的三角形等，引导学生通过画经过格点的不同直线，并对它们的位置关系进行直观判断，再加以验证。

传统的数学教学往往重演绎，轻归纳、类比，满足于证明现成的结论，而很少让学生经历探索结论、提出猜想的活动过程。而在数学学习中，发现结论与证明结论同样重要，所以，在培养学生演绎推理能力的同时，也应该重视合情推理能力的培养。逻辑推理能力不是与生俱来的，需要通过学习体验才能提高，所以，培养学生的数学推理能力应当作为数学教育的中心任务。初中生正处于推理能力发展的初期，也是推理能力发展的关键时期，所以，课堂教学中，要为学生提供丰富的情境，给学生足够的时间和机会，促成学生主动地“做数学”“想数学”。

放手让学生去体验，课堂教学要关注以下三个方面：一是充分发挥数学实验、数学学具的操作性、直观性等功能，让学生在思考问题时采取画一画、折一折、做一做等数学实验的方式，有助于学生逻辑推理能力的养成。二是给学生足够的时间去讨论、交流，鼓励学生进行小组合作式实践活动，如调查统计、测量计算等，有助于学生理解和掌握知识，形成有效的思维习惯与方式。三是设计一些生活情境，引导学生用数学知识去思考解决问题，养成从多角度认识事物的习惯。比如，在“角”的教学过程中，要让学生直观地感受一些角的数量、形状、大小，积累一些生活中常见的经验，从而让学生对角度的直观判断不要出现大的偏差，有利于学生进行合情推理。

三、引导学生掌握逻辑推理的方法

逻辑推理能力是正确、合理思考的能力，是对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的能力，是采用科学的逻辑方法准确而有条理地表达思维过程的能力。本次测试中，试题M8BS091是以平行四边形为背景，考查平行四边形的相关性质的简单问题，但学生的平均得分率仅为63.9%，反映了学生思维方法上的欠缺。调查问卷中，我们设置了关于师生“对于几何证明题，引导学生（老师引导我们）用分析的方法寻找证明的思路，再有条理地表达证明过程”的问题，结果表明，一些教师在教学过程中对方法的养成不够重视。

试题M8BS151、M8BS152如图2，一块四边形纸板剪去△DEC后，得到四边形ABCE，测得∠BAE=∠BCE=90°，BC=CE，AB=DE。

（1）能否在四边形纸板ABCE上只剪一刀，使剪下的三角形与△DEC全等？请说明理由;

（2）求∠D的度数。

本题主要用来测试“从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算”这一逻辑推理具体表现的水平状况。本题要求学生能“从三角形全等的判定定理出发，按照已有的定理进行证明”，并能“从三角形内角和定理及内外角的关系出发，按照已有的定理或法则进行计算”。能正确解答本题的学生在逻辑推理上处于C及以上水平，具有知识理解的能力。本次测试中，本题两小问的平均得分率分别为78.2%、67.9%;数学总体能力处于A、B、C、D四个水平的学生在第（1）问上的平均得分率分别为98.5%、75.7%、26.9%和7.1%，在第（2）问上的平均得分率分别为96.3%、53.0%、10.3%和1.6%。

访谈结果表明，部分学生不理解“只剪一刀”的含义，或不能理解剪下的只能是一个三角形，从而不能找到与△DEC全等的三角形;部分学生不能证明∠ABC=∠DEC，从而不能正确证明两个三角形全等;部分学生不能由第（1）问中全等的结论得到AC=DC或∠ACD=90°，从而不能求得∠D的度数;部分学生作辅助线不正确，连接了BE，从而不能进行准确的转化;部分学生知道∠BAC=∠D，但是不能利用条件求出∠BAC的度数，从而不能得到正确的答案。

因此在教学过程中，要引导学生掌握逻辑推理的一些基本方法，这有助于学生逻辑推理能力的养成与提高。比如，“尺规作图”的教学过程实际上是一种对图形的推理过程。在“尺规作图”教学过程中，要让学生思考“直尺、圆规可以用来做什么？”“要得到图形，需要做什么？为什么这样做？”等问题。

“图形与几何”领域的证明是初中数学教学的难点，也是阻碍学生逻辑推理能力发展的一个障碍。要突破这一难点和障碍，我们的课堂教学要引导学生掌握逻辑推理的方法。具体的措施有以下四点：

一是引导学生掌握三段论推理的基础。三段论推理是重要的演绎推理形式，它是由两个包含着一个共同项的性质判断推出另一个性质判断的推理。三段论中的三个性质判断分别为大前提、小前提和结论：包含大项的前提为大前提，包含小项的前提为小前提，包含大项和小项的判断为结论。

二是引导学生用综合法和分析法去思考问题。“由因导果”的思维方法就是综合法，它是一种顺思维，由已知条件出发，结合数学的法则，不断分析得到所要的结果。“执果索因”的思维方法就是分析法，它是一种逆思维，由要证的结论出发，结合数学的法则进行逆向分析，从而逐渐接近已知条件。

三是关注证伪在逻辑推理能力培养过程中的作用。教学应当是一种由知识的不确定性到确定性的渐进过程。知识的不确定性阶段是指提出问题和判断问题的阶段。证伪在这一阶段扮演着重要的角色：证实性知识与证伪性知识相结合，是实现知识迁移和知识创新的必然选择。比如，在判断一个等式不成立时，引导学生举例进行说明。再如，在判定平行四边形的过程中，学生对一组对边相等、一组对角相等的四边形是不是平行四边形，不能做出准确、快速的判断，教师要慢节奏地引导学生去尝试证明，在证明过程中遇到困难时尝试举出如下反例：

如图3，△ABC中，AB=AC，在BC上取一点D，连接AD，把△ADC剪下并翻转得如图所示的四边形ABDC。因为AB=AC，所

以∠B=∠C。因为翻转，所以AC=CD，所以AB=CD。在四边形ABDC中，AB=CD，∠B=∠C，显然，四边形ABDC不是平行四边形。

四是关注解题在逻辑推理能力培养过程中的作用。波利亚分解解题的思维过程得到“怎样解题”的表，将解题的具体过程分为“弄清问题”“拟定计划”“实现计划”和“回顧反思”四大步骤。在解题教学中，我们要利用波利亚的探索法，启发学生联想，引导学生学会联想。长此以往，学生的逻辑推理能力就会得到良好的发展。

参考文献：

[1] 董林伟，喻平.基于学业水平质量监测的初中生数学核心素养发展状况调查[J].数学教育学报，2017（1）.